ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 60 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В трапеции \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)) известно, что \(AB = 5\) см, \(BC = 9\) см, \(AD = 16\) см, \(\cos A = \frac{1}{4}\). Найдите сторону \(CD\) трапеции.

Дано: \(AB = 5\), \(BC = 9\), \(AD = 16\), \(\cos \angle A = \frac{1}{7}\). Построим \(CE \parallel AB\), тогда в параллелограмме \(ABCE\) \(AE = BC = 9\), \(CE = AB = 5\), \(\angle E = 180^\circ — \angle A\). В треугольнике \(CED\) \(DE = AD — AE = 16 — 9 = 7\). По теореме косинусов: \(CD^2 = CE^2 + DE^2 — 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos \angle CED\). Так как \(\angle CED = \angle A\), то \(CD^2 = 5^2 + 7^2 — 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} = 25 + 49 — 10 = 64\). Следовательно, \(CD = 8\).

В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\) и \(BC\) параллельны, при этом \(AB = 5\), \(BC = 9\), \(AD = 16\), и дан угол при вершине \(A\), для которого \(\cos \angle A = \frac{1}{7}\).

Проведём линию \(CE\) параллельно \(AB\), где точка \(E\) лежит на отрезке \(AD\). Тогда фигура \(ABCE\) является параллелограммом, потому что противоположные стороны параллельны и равны.

Из свойств параллелограмма следует, что \(AE = BC = 9\) и \(CE = AB = 5\). Кроме того, углы \(A\) и \(E\) в параллелограмме являются смежными и в сумме дают \(180^\circ\), то есть \(\angle E = 180^\circ — \angle A\).

Рассмотрим треугольник \(CED\). Длина отрезка \(DE\) равна разности длин \(AD\) и \(AE\), то есть \(DE = 16 — 9 = 7\).

Для нахождения длины \(CD\) применим теорему косинусов к треугольнику \(CED\):

\(CD^2 = CE^2 + DE^2 — 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos \angle CED\).

Угол \(\angle CED\) равен углу \(\angle A\) по построению, значит можно подставить \(\cos \angle A = \frac{1}{7}\).

Подставим значения:

\(CD^2 = 5^2 + 7^2 — 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{7} = 25 + 49 — 10 = 64\).

Извлечём корень:

\(CD = \sqrt{64} = 8\).