Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 600 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Известно, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны и \(|\vec{a}| = |\vec{b}| \ne 0\). При каких значениях x векторы \(\vec{a} + x\vec{b}\) и \(\vec{a} — x\vec{b}\) перпендикулярны?
Даны векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), причем \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \neq 0 \). Нужно найти \( x \), при которых векторы \( \vec{a} + x\vec{b} \) и \( \vec{a} — x\vec{b} \) перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\( (\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} — x\vec{b}) = 0 \).
Раскроем скалярное произведение:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} — x \vec{a} \cdot \vec{b} + x \vec{b} \cdot \vec{a} — x^{2} \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).
Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), средние члены сократятся:
\( |\vec{a}|^{2} — x^{2} |\vec{b}|^{2} = 0 \).
Подставим \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \):
\( |\vec{a}|^{2} — x^{2} |\vec{a}|^{2} = 0 \).
Разделим на \( |\vec{a}|^{2} \):
\( 1 — x^{2} = 0 \).
Отсюда:
\( x^{2} = 1 \), значит \( x = \pm 1 \).
Ответ: -1; 1.
Даны два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), при этом они не коллинеарны и имеют равные длины, то есть \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \neq 0 \).
Нужно найти такие значения \( x \), при которых векторы \( \vec{a} + x\vec{b} \) и \( \vec{a} — x\vec{b} \) будут перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Значит, нужно решить уравнение:
\( (\vec{a} + x\vec{b}) \cdot (\vec{a} — x\vec{b}) = 0 \).
Раскроем скалярное произведение, используя распределительный закон:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} — x \vec{a} \cdot \vec{b} + x \vec{b} \cdot \vec{a} — x^{2} \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).
Так как скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), средние члены сокращаются:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} — x^{2} \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).
Подставим длины векторов:
\( |\vec{a}|^{2} — x^{2} |\vec{b}|^{2} = 0 \).
Поскольку \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \), обозначим их длину через \( k \neq 0 \). Тогда уравнение принимает вид:
\( k^{2} — x^{2} k^{2} = 0 \).
Разделим обе части уравнения на \( k^{2} \), чтобы упростить:
\( 1 — x^{2} = 0 \).
Отсюда следует, что:
\( x^{2} = 1 \).
Значит, \( x \) может быть равен либо 1, либо -1.
Ответ: -1; 1.
