ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 601 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) перпендикулярны. Докажите, что \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).

Даны два вектора: \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} — \vec{b} \). Они перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю:
\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = 0 \).

Раскроем скалярное произведение:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), то
\( |\vec{a}|^{2} — |\vec{b}|^{2} = 0 \).

Отсюда следует:
\( |\vec{a}| = |\vec{b}| \).

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим два вектора \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} — \vec{b} \). По условию задачи, эти два вектора перпендикулярны, то есть угол между ними равен 90 градусам. Векторное произведение в этом случае не подходит, поэтому используем скалярное произведение, так как оно равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны. Следовательно,
\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = 0 \).

Раскроем скобки в выражении скалярного произведения, используя свойства дистрибутивности:
\( \vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \).
Здесь мы применили правило, что скалярное произведение распространяется на каждую пару векторов из двух скобок. Теперь обратим внимание, что скалярное произведение коммутативно, то есть
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \).
Поэтому слагаемые \( — \vec{a} \cdot \vec{b} \) и \( + \vec{b} \cdot \vec{a} \) взаимно уничтожаются, так как они равны по величине, но имеют противоположные знаки.

После упрощения уравнение принимает вид:
\( |\vec{a}|^{2} — |\vec{b}|^{2} = 0 \),
где \( |\vec{a}|^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a} \) — квадрат длины вектора \( \vec{a} \), и аналогично для \( \vec{b} \). Это означает, что квадраты длин векторов равны, значит равны и сами длины:
\( |\vec{a}| = |\vec{b}| \).
Таким образом, мы доказали, что если векторы \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} — \vec{b} \) перпендикулярны, то длины векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обязательно равны.