ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 603 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение \((\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\).

Дано: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 1 \), угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 120^\circ \).

Вычисляем скалярное произведение:

\( (\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2\vec{b} \cdot \vec{a} — 2\vec{b} \cdot \vec{b} \)

\( = |\vec{a}|^{2} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 |\vec{b}|^{2} \)

\( = 1 + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \)

\( = 1 — \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \)

\( = -1 — \vec{a} \cdot \vec{b} \)

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \),

то

\( (\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = -1 — \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5 \).

Рассмотрим два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), длины которых равны единице: \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \). Между этими векторами задан угол \( 120^\circ \), что означает, что они направлены не в одну сторону, а под углом, превышающим прямой угол. Для решения задачи нам нужно найти скалярное произведение выражения \( (\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \). Скалярное произведение — это операция, которая позволяет получить число, характеризующее взаимное расположение векторов, учитывая их длины и угол между ними.

Раскроем скобки в выражении, используя свойства скалярного произведения. По дистрибутивному закону скалярное произведение распространяется на сумму и разность векторов: \( (\vec{a} — 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2\vec{b} \cdot \vec{a} — 2\vec{b} \cdot \vec{b} \). Здесь важно помнить, что скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), поэтому можно упростить выражение. Подставим это свойство: \( = |\vec{a}|^{2} + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 |\vec{b}|^{2} \).

Далее подставим известные величины длин векторов. Поскольку \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \), то \( |\vec{a}|^{2} = 1^{2} = 1 \) и \( |\vec{b}|^{2} = 1^{2} = 1 \). Получаем: \( 1 + \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \). Сгруппируем похожие слагаемые: \( 1 — \vec{a} \cdot \vec{b} — 2 \). Чтобы найти значение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \), воспользуемся формулой скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 120^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \). Подставляя это значение, получаем: \( 1 — \left(-\frac{1}{2}\right) — 2 = 1 + \frac{1}{2} — 2 = -\frac{1}{2} \).

Итак, итоговое значение скалярного произведения равно \( -\frac{1}{2} \), или в десятичном виде \( -0,5 \). Это число отражает, что векторы \( \vec{a} — 2\vec{b} \) и \( \vec{a} + \vec{b} \) направлены таким образом, что их скалярное произведение отрицательно, что соответствует углу больше \( 90^\circ \) между ними. Такой результат согласуется с исходным углом в \( 120^\circ \) между исходными векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).