ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 604 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(|\vec{a}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{b}| = 1\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ\). Найдите \(|2\vec{a} + 5\vec{b}|\).

Дано: \( |\vec{a}| = \sqrt{3} \), \( |\vec{b}| = 1 \), угол между векторами \( 150^\circ \).

Вычисляем скалярное произведение:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 150^\circ = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} \).

Вычисляем квадрат модуля вектора \( 2\vec{a} + 5\vec{b} \):
\( |2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 20(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 25|\vec{b}|^2 \).

Подставляем значения:
\( 4 \cdot (\sqrt{3})^2 + 20 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 25 \cdot 1^2 = 4 \cdot 3 — 30 + 25 = 12 — 30 + 25 = 7 \).

Следовательно,
\( |2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{7} \).

Даны два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) с длинами \( |\vec{a}| = \sqrt{3} \) и \( |\vec{b}| = 1 \), а также угол между ними равен \( 150^\circ \). Чтобы найти длину вектора, который является суммой \( 2\vec{a} + 5\vec{b} \), нужно сначала понять, что длина вектора — это корень квадратный из скалярного произведения вектора самого на себя. То есть, нам нужно вычислить величину \( |2\vec{a} + 5\vec{b}| \), которая равна \( \sqrt{(2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b})} \).

Раскроем скалярное произведение по распределительному закону:
\( (2\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 5\vec{b}) = 2\vec{a} \cdot 2\vec{a} + 2\vec{a} \cdot 5\vec{b} + 5\vec{b} \cdot 2\vec{a} + 5\vec{b} \cdot 5\vec{b} \).
Это можно переписать как
\( 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 25(\vec{b} \cdot \vec{b}) \).
Поскольку скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), два средних слагаемых можно объединить:
\( 4|\vec{a}|^{2} + 20(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 25|\vec{b}|^{2} \).

Теперь нужно найти значение скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). По определению, скалярное произведение связано с длинами векторов и косинусом угла между ними:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \), где \( \theta = 150^\circ \).
Подставим известные величины:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos 150^\circ \).
Из тригонометрии известно, что \( \cos 150^\circ = -\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \), следовательно:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{ \sqrt{3} }{ 2 }\right) = -\frac{3}{2} \).

Подставим все найденные значения в формулу для квадрата длины вектора:
\( 4 \cdot (\sqrt{3})^{2} + 20 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 25 \cdot 1^{2} = 4 \cdot 3 — 30 + 25 = 12 — 30 + 25 = 7 \).
Итак, квадрат длины вектора равен 7. Чтобы найти саму длину, нужно извлечь квадратный корень:
\( |2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{7} \).
Таким образом, длина вектора \( 2\vec{a} + 5\vec{b} \) равна \( \sqrt{7} \).