ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 605 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Известно, что \(|\vec{m}| = 1\), \(|\vec{n}| = 2\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 60^\circ\). Найдите \(|2\vec{m} — 3\vec{n}|\).

Краткий ответ:

Дано: \( |\vec{m}| = 1 \), \( |\vec{n}| = 2 \), угол между векторами \( 60^\circ \).

Вычислим скалярное произведение: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos 60^\circ = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).

Найдём квадрат модуля вектора \( 2\vec{m} — 3\vec{n} \):

\( |2\vec{m} — 3\vec{n}|^2 = (2\vec{m})^2 — 2 \cdot 2\vec{m} \cdot 3\vec{n} + (3\vec{n})^2 = 4|\vec{m}|^2 — 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 \).

Подставляем известные значения:

\( = 4 \cdot 1^2 — 12 \cdot 1 + 9 \cdot 2^2 = 4 — 12 + 36 = 28 \).

Тогда модуль вектора равен:

\( |2\vec{m} — 3\vec{n}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \).

Подробный ответ:

Даны два вектора \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) с модулями \( |\vec{m}| = 1 \) и \( |\vec{n}| = 2 \), а также угол между ними равен \( 60^\circ \).

Сначала найдём скалярное произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) по формуле \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \theta \), где \( \theta = 60^\circ \). Подставляем значения: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).

Теперь нужно найти модуль вектора \( 2\vec{m} — 3\vec{n} \). Для этого сначала найдём квадрат модуля, так как \( | \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} \).

Раскроем скалярное произведение: \( |2\vec{m} — 3\vec{n}|^2 = (2\vec{m} — 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} — 3\vec{n}) \).

Раскроем скобки по распределительному закону: \( = 2\vec{m} \cdot 2\vec{m} — 2\vec{m} \cdot 3\vec{n} — 3\vec{n} \cdot 2\vec{m} + 3\vec{n} \cdot 3\vec{n} \).

Упростим: \( = 4|\vec{m}|^2 — 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) + 9|\vec{n}|^2 \).

Так как скалярное произведение коммутативно, \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \), значит: \( = 4 \cdot 1^2 — 12 \cdot 1 + 9 \cdot 2^2 \).

Вычисляем: \( = 4 — 12 + 36 = 28 \).

Тогда модуль вектора равен \( |2\vec{m} — 3\vec{n}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \).

Оцени решение