ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 606 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами \(A (3; -2)\), \(B (4; 0)\), \(C (2; 1)\), \(D (1; -1)\) является прямоугольником.

Краткий ответ:

Вершины четырёхугольника \(ABCD\): \(A(3; -2)\), \(B(4; 0)\), \(C(2; 1)\), \(D(1; -1)\).

1) Величина угла \( \angle A \):

\(\overrightarrow{AB} = (4 — 3; 0 — (-2)) = (1; 2)\), \(\overrightarrow{AD} = (1 — 3; -1 — (-2)) = (-2; 1)\)

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0\)

2) Величина угла \( \angle B \):

\(\overrightarrow{BC} = (2 — 4; 1 — 0) = (-2; 1)\), \(\overrightarrow{BA} = (3 — 4; -2 — 0) = (-1; -2)\)

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 2 — 2 = 0\)

3) Величина угла \( \angle C \):

\(\overrightarrow{CB} = (4 — 2; 0 — 1) = (2; -1)\), \(\overrightarrow{CD} = (1 — 2; -1 — 1) = (-1; -2)\)

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = -2 + 2 = 0\)

4) В четырёхугольнике \(ABCD\):

\(\angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ\),

значит \(ABCD\) — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(3; -2)\), \(B(4; 0)\), \(C(2; 1)\), \(D(1; -1)\). Чтобы доказать, что этот четырёхугольник является прямоугольником, нам нужно убедиться, что все углы равны \(90^\circ\). Для этого мы найдём векторы, исходящие из каждой вершины, и вычислим их скалярные произведения. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, значит угол между ними прямой.

Начнём с вершины \(A\). Рассчитаем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) получается вычитанием координат точки \(A\) из координат точки \(B\): \( (4 — 3; 0 — (-2)) = (1; 2) \). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен \( (1 — 3; -1 — (-2)) = (-2; 1) \). Теперь найдём скалярное произведение этих векторов: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \). Поскольку результат равен нулю, угол при вершине \(A\) является прямым.

Перейдём к вершине \(B\). Здесь нам нужны векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BA}\). Вектор \(\overrightarrow{BC} = (2 — 4; 1 — 0) = (-2; 1)\), а вектор \(\overrightarrow{BA} = (3 — 4; -2 — 0) = (-1; -2)\). Скалярное произведение этих векторов вычисляется так: \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 2 — 2 = 0 \). Опять же, нулевое скалярное произведение доказывает, что угол при вершине \(B\) равен \(90^\circ\).

Теперь рассмотрим вершину \(C\). Векторы \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) вычисляются следующим образом: \(\overrightarrow{CB} = (4 — 2; 0 — 1) = (2; -1)\), \(\overrightarrow{CD} = (1 — 2; -1 — 1) = (-1; -2)\). Скалярное произведение равно \( \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = -2 + 2 = 0 \). Это означает, что угол при вершине \(C\) также прямой.

Поскольку сумма всех углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), и три угла равны \(90^\circ\), то четвёртый угол \(D\) тоже равен \(90^\circ\). Таким образом, все четыре угла четырёхугольника \(ABCD\) являются прямыми, что по определению делает этот четырёхугольник прямоугольником.

Итог: доказано, что \(ABCD\) — прямоугольник, так как все углы равны \(90^\circ\), что подтверждается вычислением скалярных произведений соответствующих векторов, равных нулю.

Оцени решение