ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 607 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами \(A (-1; 4)\), \(B (-2; 5)\), \(C (-1; 6)\), \(D (0; 5)\) является квадратом.

Краткий ответ:

Вершины четырёхугольника \(ABCD\): \(A(-1; 4)\), \(B(-2; 5)\), \(C(-1; 6)\), \(D(0; 5)\).

1) Величина угла \(A\):

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (-2+1)(0+1) + (5-4)(5-4) = -1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 1 = 0\);

2) Величина угла \(B\):

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = (-1+2)(-1+2) + (6-5)(4-5) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) =\)
\(= 1 — 1 = 0\);

3) Величина угла \(C\):

\(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-2+1)(0+1) + (5-6)(5-6) = -1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) =\)
\(= -1 + 1 = 0\);

4) Величина угла \(D\):

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-1+1)(0+2) + (6-4)(5-5) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0 + 0 = 0\);

5) В четырёхугольнике \(ABCD\):

\(\angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ\), \(AC \perp BD\);

\(ABCD\) — квадрат;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Вершины четырёхугольника \(ABCD\): \(A(-1; 4)\), \(B(-2; 5)\), \(C(-1; 6)\), \(D(0; 5)\).

Сначала найдём векторы, исходящие из точки \(A\): \(\overrightarrow{AB} = (B_x — A_x; B_y — A_y) = (-2 + 1; 5 — 4) = (-1; 1)\) и \(\overrightarrow{AD} = (D_x — A_x; D_y — A_y) = (0 + 1; 5 — 4) = (1; 1)\).

Вычислим скалярное произведение этих векторов: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 1 = 0\). Так как скалярное произведение равно нулю, угол при вершине \(A\) прямой.

Теперь найдём векторы, исходящие из точки \(B\): \(\overrightarrow{BC} = (C_x — B_x; C_y — B_y) = (-1 + 2; 6 — 5) = (1; 1)\) и \(\overrightarrow{BA} = (A_x — B_x; A_y — B_y) = (-1 + 2; 4 — 5) = (1; -1)\).

Вычислим скалярное произведение: \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 — 1 = 0\). Угол при вершине \(B\) также прямой.

Для вершины \(C\) найдём векторы \(\overrightarrow{CB} = (B_x — C_x; B_y — C_y) = (-2 + 1; 5 — 6) = (-1; -1)\) и \(\overrightarrow{CD} = (D_x — C_x; D_y — C_y) = (0 + 1; 5 — 6) = (1; -1)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = -1 + 1 = 0\). Угол при вершине \(C\) прямой.

Для вершины \(D\) найдём векторы \(\overrightarrow{DA} = (A_x — D_x; A_y — D_y) = (-1 — 0; 4 — 5) = (-1; -1)\) и \(\overrightarrow{DC} = (C_x — D_x; C_y — D_y) = (-1 — 0; 6 — 5) = (-1; 1)\).

Вычислим скалярное произведение: \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC} = (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 1 — 1 = 0\). Угол при вершине \(D\) тоже прямой.

Далее вычислим длины сторон:

\(|AB| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\),

\(|BC| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\),

\(|CD| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\),

\(|DA| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\).

Все стороны равны.

Найдём длины диагоналей:

\(|AC| = \sqrt{(-1 + 1)^2 + (6 — 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2\),

\(|BD| = \sqrt{(0 + 2)^2 + (5 — 5)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2\).

Диагонали равны.

Таким образом, все углы равны \(90^\circ\), все стороны равны, диагонали равны. Значит, четырёхугольник \(ABCD\) — квадрат. Что и требовалось доказать.

Оцени решение