ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 608 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите косинусы углов треугольника с вершинами \(A (1; 6)\), \(B (-2; 3)\), \(C (2; -1)\).

Краткий ответ:

Вершины треугольника \( A(1;6), B(-2;3), C(2;-1) \).

Координаты векторов:
\( x_{AB} = -2 — 1 = -3, y_{AB} = 3 — 6 = -3 \)
\( x_{BC} = 2 + 2 = 4, y_{BC} = -1 — 3 = -4 \)
\( x_{AC} = 2 — 1 = 1, y_{AC} = -1 — 6 = -7 \)

Косинус угла \( \angle A \):
\( \cos \angle A = \frac{-3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-7)}{\sqrt{9 + 9} \cdot \sqrt{1 + 49}} = \frac{-3 + 21}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \)

Косинус угла \( \angle B \):
\( \cos \angle B = \frac{3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4)}{\sqrt{9 + 9} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{12 — 12}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{32}} = \frac{0}{\sqrt{576}} = 0 \)

Косинус угла \( \angle C \):
\( \cos \angle C = \frac{-4 \cdot (-1) + 4 \cdot 7}{\sqrt{16 + 16} \cdot \sqrt{1 + 49}} = \frac{4 + 28}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}} = \frac{32}{\sqrt{1600}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \)

Ответ: \( \frac{3}{5}; 0; \frac{4}{5} \)

Подробный ответ:

Даны точки \( A(1;6), B(-2;3), C(2;-1) \).

Найдем векторы, исходящие из каждой вершины. Для угла \( \angle A \) нужны векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Их координаты:
\( \overrightarrow{AB} = (-2 — 1; 3 — 6) = (-3; -3) \)
\( \overrightarrow{AC} = (2 — 1; -1 — 6) = (1; -7) \)

Вычислим скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):
\( (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18 \)

Найдем длины векторов:
\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)

Косинус угла \( \angle A \) равен
\( \cos \angle A = \frac{18}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \)

Для угла \( \angle B \) найдем векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \):
\( \overrightarrow{BA} = (1 + 2; 6 — 3) = (3; 3) \)
\( \overrightarrow{BC} = (2 + 2; -1 — 3) = (4; -4) \)

Вычислим скалярное произведение:
\( 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 — 12 = 0 \)

Длины векторов:
\( |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
\( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)

Косинус угла \( \angle B \) равен
\( \cos \angle B = \frac{0}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{32}} = 0 \)

Для угла \( \angle C \) найдем векторы \( \overrightarrow{CB} \) и \( \overrightarrow{CA} \):
\( \overrightarrow{CB} = (-2 — 2; 3 + 1) = (-4; 4) \)
\( \overrightarrow{CA} = (1 — 2; 6 + 1) = (-1; 7) \)

Скалярное произведение:
\( (-4) \cdot (-1) + 4 \cdot 7 = 4 + 28 = 32 \)

Длины векторов:
\( |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)
\( |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)

Косинус угла \( \angle C \) равен
\( \cos \angle C = \frac{32}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}} = \frac{32}{\sqrt{1600}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \)

Ответ: \( \frac{3}{5}; 0; \frac{4}{5} \)

Оцени решение