ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 609 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите углы треугольника с вершинами \(A (0; 6)\), \(B (4\sqrt{3}; 6)\), \(C (3\sqrt{3}; 3)\).

Краткий ответ:

Вершины треугольника: \( A(0; 6) \), \( B(4\sqrt{3}; 6) \), \( C(3\sqrt{3}; 3) \).

Координаты векторов:
\( x_{AB} = 4\sqrt{3} — 0 = 4\sqrt{3} \), \( y_{AB} = 6 — 6 = 0 \)
\( x_{BC} = 3\sqrt{3} — 4\sqrt{3} = -\sqrt{3} \), \( y_{BC} = 3 — 6 = -3 \)
\( x_{AC} = 3\sqrt{3} — 0 = 3\sqrt{3} \), \( y_{AC} = 3 — 6 = -3 \)

Величина угла \( \angle A \):
\( \cos \angle A = \frac{4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 0 \cdot (-3)}{\sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2}} = \frac{36}{\sqrt{48} \cdot 6} = \frac{36}{6 \sqrt{48}} = \frac{6}{\sqrt{48}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \angle A = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 30^\circ \)

Величина угла \( \angle B \):
\( \cos \angle B = \frac{(-4\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + 0 \cdot (-3)}{\sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{12}} = \frac{12}{\sqrt{576}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
\( \angle B = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \)

Величина угла \( \angle C \):
\( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 30^\circ — 60^\circ = 90^\circ \)

Ответ: \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)

Подробный ответ:

Даны вершины треугольника: \( A(0; 6) \), \( B(4\sqrt{3}; 6) \), \( C(3\sqrt{3}; 3) \).

Найдём векторы, исходящие из точек:
Вектор \( \overrightarrow{AB} = (4\sqrt{3} — 0; 6 — 6) = (4\sqrt{3}; 0) \).
Вектор \( \overrightarrow{AC} = (3\sqrt{3} — 0; 3 — 6) = (3\sqrt{3}; -3) \).
Вектор \( \overrightarrow{BC} = (3\sqrt{3} — 4\sqrt{3}; 3 — 6) = (-\sqrt{3}; -3) \).

Вычислим угол при вершине \( A \) между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Для этого найдём скалярное произведение:
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 0 \cdot (-3) = 12 \cdot 3 = 36 \).

Вычислим длины векторов:
\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \).
\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 \cdot 3 + 9} = \sqrt{36} = 6 \).

Подставим в формулу косинуса угла:
\( \cos \angle A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{36}{\sqrt{48} \cdot 6} = \frac{6}{\sqrt{48}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно,
\( \angle A = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 30^\circ \).

Теперь найдём угол при вершине \( B \) между векторами \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \). Координаты векторов:
\( \overrightarrow{BA} = (0 — 4\sqrt{3}; 6 — 6) = (-4\sqrt{3}; 0) \).
\( \overrightarrow{BC} = (-\sqrt{3}; -3) \).

Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + 0 \cdot (-3) = 4 \cdot 3 = 12 \).

Длины векторов:
\( |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{48} \).
\( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

Подставим в формулу косинуса:
\( \cos \angle B = \frac{12}{\sqrt{48} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{2 \sqrt{48} \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{48} \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{144}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).

Следовательно,
\( \angle B = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \).

Угол при вершине \( C \) найдём из суммы углов треугольника:
\( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 30^\circ — 60^\circ = 90^\circ \).

Ответ: \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \).

Оцени решение