ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 61 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В трапеции \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)) известно, что \(AB = \sqrt{15}\) см, \(BC = 6\) см, \(CD = 4\) см, \(AD = 11\) см. Найдите косинус угла \(D\) трапеции.

Дано: \(AB = \sqrt{15}\), \(BC = 6\), \(CD = 4\), \(AD = 11\). Нужно найти \(\cos \angle D\).

Проведём \(BE\), где \(E\) — точка на \(AD\), \(BE \perp CD\).

В параллелограмме \(BCDE\): \(DE = BC = 6\), \(BE = CD = 4\), \(\angle E = 180^\circ — \angle D\), значит \(\angle AEB = \angle D\).

В треугольнике \(AEB\): \(AE = AD — DE = 11 — 6 = 5\).

По теореме косинусов:

\(AB^2 = AE^2 + BE^2 — 2 \cdot AE \cdot BE \cdot \cos \angle AEB\),

то есть

\(15 = 5^2 + 4^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos \angle D\),

\(15 = 25 + 16 — 40 \cos \angle D\),

\(40 \cos \angle D = 41 — 15 = 26\),

\(\cos \angle D = \frac{13}{20}\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которой основания \(AD\) и \(BC\) параллельны. Известны длины сторон: \(AB = \sqrt{15}\), \(BC = 6\), \(CD = 4\), \(AD = 11\). Нам нужно найти косинус угла \(D\), то есть \(\cos \angle D\).

Для начала проведём перпендикуляр из точки \(B\) на сторону \(AD\). Обозначим точку пересечения перпендикуляра с \(AD\) как \(E\). Таким образом, \(BE \perp AD\), и \(E\) лежит на отрезке \(AD\). Это позволит нам разбить фигуру на более простые части и использовать свойства прямоугольных треугольников и параллелограмма.

Далее рассмотрим четырёхугольник \(BCDE\). Поскольку \(BE\) перпендикулярно \(AD\), а \(AD\) параллельно \(BC\), то \(BE\) перпендикулярно и \(BC\). Значит, \(BCDE\) — параллелограмм, у которого противоположные стороны равны и параллельны. В этом параллелограмме стороны \(DE\) и \(BC\) равны друг другу, то есть \(DE = BC = 6\), а стороны \(BE\) и \(CD\) также равны, \(BE = CD = 4\).

Угол \(E\) в параллелограмме равен \(180^\circ — \angle D\), так как сумма смежных углов при вершинах \(D\) и \(E\) равна \(180^\circ\). Следовательно, угол \(AEB\) равен углу \(D\), так как \(AEB\) является внешним углом к углу \(E\). Это важное наблюдение, позволяющее использовать треугольник \(AEB\) для нахождения \(\cos \angle D\).

Теперь вычислим длину отрезка \(AE\). Поскольку \(E\) лежит на \(AD\), а \(DE = 6\), то \(AE = AD — DE = 11 — 6 = 5\). Таким образом, в треугольнике \(AEB\) известны стороны \(AE = 5\), \(BE = 4\), и \(AB = \sqrt{15}\).

Применим теорему косинусов к треугольнику \(AEB\) для угла \(\angle AEB = \angle D\):

\(AB^2 = AE^2 + BE^2 — 2 \cdot AE \cdot BE \cdot \cos \angle D\).

Подставим известные значения:

\((\sqrt{15})^2 = 5^2 + 4^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos \angle D\),

то есть

\(15 = 25 + 16 — 40 \cos \angle D\).

Сложим числа справа:

\(15 = 41 — 40 \cos \angle D\).

Перенесём все члены, чтобы выразить \(\cos \angle D\):

\(40 \cos \angle D = 41 — 15 = 26\).

Отсюда получаем

\(\cos \angle D = \frac{26}{40} = \frac{13}{20}\).

Таким образом, косинус угла \(D\) равен \(\frac{13}{20}\).