ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 610 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что для любых двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется неравенство \(-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|\).

Докажем неравенство:

\(-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|\).

Скалярное произведение равно

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle(\vec{a}, \vec{b})\).

Тогда

\(-|\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle(\vec{a}, \vec{b}) \le |\vec{a}||\vec{b}|\).

Разделим на \( |\vec{a}||\vec{b}| \), если они не равны нулю:

\(-1 \le \cos \angle(\vec{a}, \vec{b}) \le 1\).

Это верно, так как косинус любого угла лежит между -1 и 1.

Если \( |\vec{a}|=0 \) или \( |\vec{b}|=0 \), то

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\),

и неравенство тоже выполняется.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в пространстве. Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется длиной (модулем) и направлением. Чтобы понять связь между двумя векторами, используют скалярное произведение, которое показывает, насколько один вектор направлен в сторону другого. Формула для скалярного произведения записывается так: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. Модуль вектора \( |\vec{a}| \) — это длина вектора, а \(\cos \theta\) — косинус угла между ними. Эта формула помогает связать геометрические свойства векторов с алгебраическими.

Косинус угла \(\theta\) всегда лежит в промежутке от \(-1\) до \(1\), то есть выполняется неравенство \(-1 \le \cos \theta \le 1\). Это важное свойство тригонометрической функции косинуса, которое отражает, что угол может быть острым, прямым или тупым, а значение косинуса соответственно меняется от 1 до -1. Если угол равен 0 градусов, косинус равен 1, и векторы направлены одинаково. Если угол 90 градусов, косинус равен 0, векторы перпендикулярны. Если угол 180 градусов, косинус равен -1, и векторы направлены в противоположные стороны. Таким образом, косинус показывает степень совпадения направлений векторов.

Умножая неравенство \(-1 \le \cos \theta \le 1\) на произведение модулей векторов \( |\vec{a}||\vec{b}| \), получаем \(-|\vec{a}||\vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \le |\vec{a}||\vec{b}|\). Поскольку \( |\vec{a}|\) и \( |\vec{b}|\) — неотрицательные числа (длины векторов не могут быть отрицательными), знак неравенства сохраняется. Подставляя обратно выражение для скалярного произведения, получаем неравенство \(-|\vec{a}||\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|\). Если хотя бы один из векторов нулевой, то его длина равна нулю, и скалярное произведение равно нулю, что также удовлетворяет этому неравенству. Следовательно, это неравенство верно для любых векторов, что и требовалось доказать.