ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 612 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), если \((\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = -11\), \(|\vec{m}| = 2\), \(|\vec{n}| = 3\).
Даны векторы с длинами \( |\vec{m}| = 2 \) и \( |\vec{n}| = 3 \). Из условия: \( (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = -11 \).
Раскроем скалярное произведение: \( \vec{m} \cdot \vec{m} — \vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot \vec{m} — 3\vec{n} \cdot \vec{n} \).
Это равно \( |\vec{m}|^2 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 3 |\vec{n}|^2 \).
Подставим числа: \( 4 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 27 = -11 \).
Получаем \( 2 \vec{m} \cdot \vec{n} = 12 \), значит \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 \).
Скалярное произведение через угол: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos \angle(\vec{m}, \vec{n}) \).
Подставим: \( 6 = 2 \cdot 3 \cdot \cos \angle(\vec{m}, \vec{n}) \).
Отсюда \( \cos \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 1 \).
Значит угол между векторами равен \( 0^\circ \).
Даны два вектора \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) с известными длинами: \( |\vec{m}| = 2 \) и \( |\vec{n}| = 3 \). В условии задачи дано выражение для скалярного произведения двух векторов: \( (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = -11 \). Чтобы найти угол между векторами, нужно сначала раскрыть скалярное произведение и выразить через него угол. Напомним, что скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними.
Раскроем скалярное произведение по формуле дистрибутивности: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} \). В нашем случае это будет \( (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} — \vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} — \vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot \vec{m} — 3\vec{n} \cdot \vec{n} \). Поскольку скалярное произведение коммутативно, то \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \), и можно упростить выражение до \( |\vec{m}|^2 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 3 |\vec{n}|^2 \).
Подставим известные значения длин векторов: \( |\vec{m}|^2 = 2^2 = 4 \) и \( |\vec{n}|^2 = 3^2 = 9 \). Тогда выражение принимает вид \( 4 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 3 \cdot 9 = -11 \), то есть \( 4 + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 27 = -11 \). Упростим: \( 2 \vec{m} \cdot \vec{n} — 23 = -11 \), откуда следует \( 2 \vec{m} \cdot \vec{n} = 12 \), а значит \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 6 \).
Теперь, чтобы найти угол между векторами, используем формулу скалярного произведения через угол: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos \theta \), где \( \theta \) — угол между векторами. Подставим известные значения: \( 6 = 2 \cdot 3 \cdot \cos \theta \), откуда \( \cos \theta = \frac{6}{6} = 1 \). Косинус равный 1 означает, что угол между векторами равен \( 0^\circ \), то есть векторы направлены в одну сторону и лежат на одной прямой.
