ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 613 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = 3\), \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\).

Даны векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), у которых \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \).

Вычислим скалярное произведение \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \):

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + 2 \vec{b} \cdot \vec{b} \)

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), получаем:

\( = |\vec{a}|^2 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 |\vec{b}|^2 \)

Подставляем известные значения:

\( 1 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = \frac{3}{2} \)

Складываем:

\( 3 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} \)

Вычитаем 3:

\( 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} — 3 = \frac{3}{2} — \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \)

Делим на 3:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} \)

Так как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta \), то

\( \cos \theta = -\frac{1}{2} \)

Отсюда угол между векторами:

\( \theta = 120^\circ \)

Рассмотрим два вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), длины которых равны единице, то есть \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \). Нам известно, что скалярное произведение векторов \( (\vec{a} + \vec{b}) \) и \( (\vec{a} + 2\vec{b}) \) равно \( \frac{3}{2} \). Чтобы найти угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), сначала разложим это скалярное произведение на более простые части. Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + 2 \vec{b} \cdot \vec{b} \). Заметим, что скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \). Это позволяет упростить выражение до \( |\vec{a}|^2 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 |\vec{b}|^2 \).

Поскольку длины векторов равны единице, подставим эти значения в выражение: \( 1 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = \frac{3}{2} \). Складываем известные числа: \( 3 + 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} \). Чтобы найти скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \), вычтем 3 из обеих частей уравнения, получим: \( 3 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{3}{2} — 3 = \frac{3}{2} — \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \). Делим обе части на 3, чтобы найти значение скалярного произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2} \).

Из определения скалярного произведения известно, что оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \). Так как длины векторов равны единице, это упрощается до \( \cos \theta = \vec{a} \cdot \vec{b} \). Подставляем найденное значение: \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \). Чтобы найти угол \( \theta \), вычисляем арккосинус этого значения: \( \theta = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \). Из тригонометрии известно, что \( \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \). Таким образом, угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 120^\circ \).