ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 614 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике ABC известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 1\), \(BC = 12\). Докажите, что его медианы AK и CM перпендикулярны
Дано: \( AK \) — медиана, \( CM \) — медиана, \(\angle C = 90^\circ\), \( AC = 1 \), \( BC = \sqrt{2} \). Нужно доказать: \( AK \perp CM \).
Пусть \( \vec{CA} = \vec{a} \), \( \vec{CB} = \vec{b} \).
Тогда \( \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \), так как \( M \) — середина \( AB \).
Вектор \( \vec{AK} = \vec{K} — \vec{A} \), где \( K \) — середина \( BC \), значит \( \vec{K} = \frac{1}{2}\vec{b} \).
Тогда \( \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a} \).
Скалярное произведение:
\( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a}\right) = \frac{1}{2} \left( \vec{a} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} \right) \)
Поскольку \( \vec{a} \perp \vec{b} \), то \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), значит:
\( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \frac{1}{2} \left( 0 — |\vec{a}|^{2} + \frac{1}{2}|\vec{b}|^{2} — 0 \right) = \frac{1}{2} \left( -1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \right) = \frac{1}{2} ( -1 + 1 ) = 0 \).
Значит, \( AK \perp CM \). Что и требовалось доказать.
В треугольнике \( ABC \) угол при вершине \( C \) равен \( 90^\circ \), то есть \( \angle C = 90^\circ \). Это означает, что стороны \( AC \) и \( BC \) перпендикулярны друг другу. По условию, длина стороны \( AC = 1 \), а длина стороны \( BC = \sqrt{2} \). Чтобы анализировать медианы \( AK \) и \( CM \), удобно использовать векторный подход. Обозначим вектор от точки \( C \) к точке \( A \) как \( \vec{a} \), а вектор от точки \( C \) к точке \( B \) как \( \vec{b} \). Поскольку угол \( C \) прямой, векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны, что записывается как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). Также длины векторов равны длинам соответствующих сторон: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \).
Медиана \( CM \) — это отрезок, соединяющий вершину \( C \) и середину стороны \( AB \). Если точка \( M \) — середина отрезка \( AB \), то координаты точки \( M \) равны среднему арифметическому координат точек \( A \) и \( B \). В векторной форме вектор \( \vec{CM} \) будет равен половине суммы векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), то есть \( \vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \). Аналогично, медиана \( AK \) соединяет вершину \( A \) и середину стороны \( BC \). Точка \( K \) — середина отрезка \( BC \), значит координаты \( K \) равны половине координат точки \( B \), то есть \( \vec{K} = \frac{1}{2}\vec{b} \). Тогда вектор \( \vec{AK} \) равен разности векторов \( \vec{K} \) и \( \vec{A} \), то есть \( \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a} \).
Для доказательства перпендикулярности медиан \( AK \) и \( CM \) нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \( \vec{CM} \) и \( \vec{AK} \) вычисляется по формуле \( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \left(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a}\right) \). Раскроем скобки: \( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \frac{1}{2} \left( \vec{a} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \frac{1}{2}\vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} \right) \). Поскольку \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), то первые и последние слагаемые равны нулю, и остается \( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \frac{1}{2} \left( — |\vec{a}|^{2} + \frac{1}{2} |\vec{b}|^{2} \right) \). Подставляя длины векторов, получаем \( \vec{CM} \cdot \vec{AK} = \frac{1}{2} (-1 + \frac{1}{2} \cdot 2) = \frac{1}{2} ( -1 + 1 ) = 0 \). Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \vec{CM} \) и \( \vec{AK} \) перпендикулярны, значит медианы \( CM \) и \( AK \) тоже перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
