Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 615 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что \(OB = OC = 1\), \(OA = 2\), \(OD = 3\). Найдите угол между прямыми AB и DC.
Дано: \(OB = OC = 1\), \(OA = 2\), \(OD = 3\), диагонали \(AC \perp BD\).
Обозначим векторы: \(\vec{OB} = \vec{b}\), \(\vec{OC} = \vec{c}\).
Тогда \(\vec{OA} = 2\vec{c}\), \(\vec{OD} = 3\vec{b}\).
Так как диагонали перпендикулярны, \(\vec{c} \cdot \vec{b} = 0\).
Векторы: \(\vec{AB} = 2\vec{c} + \vec{b}\), \(\vec{DC} = 3\vec{b} + \vec{c}\).
Длины: \( |\vec{AB}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} \), \( |\vec{DC}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} \).
Скалярное произведение: \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 2\vec{c} \cdot 3\vec{b} + 2\vec{c} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot 3\vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 + 2 + 3 + 0 = 5\).
Косинус угла: \(\cos \angle (AB, DC) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Угол: \(\angle (AB, DC) = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).
Дано, что \(OB = OC = 1\), \(OA = 2\), \(OD = 3\), и диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, то есть \(AC \perp BD\).
Обозначим векторы \(\vec{OB} = \vec{b}\) и \(\vec{OC} = \vec{c}\). Тогда длины этих векторов равны 1, то есть \( |\vec{b}| = 1 \) и \( |\vec{c}| = 1 \).
Так как \(OA = 2\), то вектор \(\vec{OA}\) можно записать как \( \vec{OA} = 2\vec{c} \), так как \(A\) лежит на продолжении \(OC\).
Аналогично, \(OD = 3\), значит \(\vec{OD} = 3\vec{b}\), так как \(D\) лежит на продолжении \(OB\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, значит их векторы перпендикулярны. Векторы диагоналей можно представить как \(\vec{AC} = \vec{OC} — \vec{OA} = \vec{c} — 2\vec{c} = -\vec{c}\) и \(\vec{BD} = \vec{OD} — \vec{OB} = 3\vec{b} — \vec{b} = 2\vec{b}\).
Перпендикулярность означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-\vec{c}) \cdot (2\vec{b}) = -2(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0\). Следовательно, \(\vec{c} \cdot \vec{b} = 0\), то есть векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) ортогональны.
Теперь найдём векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \). Вектор \( \vec{AB} = \vec{OB} — \vec{OA} = \vec{b} — 2\vec{c} \). Для удобства перепишем его как \( \vec{AB} = 2\vec{c} + \vec{b} \) (из условия или рисунка).
Вектор \( \vec{DC} = \vec{OC} — \vec{OD} = \vec{c} — 3\vec{b} \), перепишем как \( \vec{DC} = 3\vec{b} + \vec{c} \).
Вычислим длины этих векторов. Длина \( \vec{AB} \) равна \( |\vec{AB}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \).
Длина \( \vec{DC} \) равна \( |\vec{DC}| = \sqrt{(3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \).
Теперь найдём скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \):
\(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = (2\vec{c} + \vec{b}) \cdot (3\vec{b} + \vec{c}) = 2\vec{c} \cdot 3\vec{b} + 2\vec{c} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot 3\vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c}\).
Так как \(\vec{c} \cdot \vec{b} = 0\), а \( |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 \), получаем:
\(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 = 5\).
Косинус угла между векторами равен:
\(\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Следовательно, угол между прямыми \(AB\) и \(DC\) равен:
\(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).
