ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 616 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC проведена медиана BD. Известно, что \(\angle DBC = 90^\circ\), \(BD = \frac{\sqrt{3}}{4} AB\). Найдите \(\angle ABD\).

Дано: \(BD\) — медиана, \(\angle DBC = 90^\circ\), \(BD = \frac{\sqrt{3}}{4} AB\). Нужно найти \(\angle ABD\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\). По свойству медианы \(BD = \frac{1}{2} (BA + BC)\). Так как \(\angle DBC = 90^\circ\), то \(BD \cdot BC = 0\).

Вычислим квадрат длины медианы:

\(BD^2 = \frac{1}{4} (BA + BC)^2 = \frac{1}{4} (BA^2 + 2 BA \cdot BC + BC^2)\).

Так как \(BD \cdot BC = 0\), то \(BD^2 = \frac{1}{2} BD \cdot BA\).

По формуле скалярного произведения:

\(|BD| \cdot |BA| \cdot \cos \angle ABD = 2 BD^2\).

Подставим известные значения:

\(\frac{\sqrt{3}}{4} AB \cdot AB \cdot \cos \angle ABD = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4} AB\right)^2\).

Упростим:

\(\frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 \cdot \cos \angle ABD = 2 \cdot \frac{3}{16} AB^2\).

\(\cos \angle ABD = \frac{2 \cdot \frac{3}{16} AB^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} AB^2} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда \(\angle ABD = 30^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) медиана \(BD\) делит сторону \(AC\) пополам, значит \(D\) — середина \(AC\). По условию \(\angle DBC = 90^\circ\), то есть угол между отрезками \(BD\) и \(BC\) прямой.

Обозначим векторы: \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Тогда вектор медианы \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\), так как \(D\) — середина \(AC\).

Из условия перпендикулярности \(\angle DBC = 90^\circ\) следует, что векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\).

Подставим выражение для \(\overrightarrow{BD}\):

\(\left(\frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\right) \cdot \overrightarrow{BC} = 0\).

Раскроем скобки:

\(\frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC}) = 0\).

Умножим обе части на 2:

\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + |\overrightarrow{BC}|^2 = 0\).

Обозначим длины: \(AB = |\overrightarrow{BA}|\), \(BC = |\overrightarrow{BC}|\). Пусть угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(\theta\). Тогда скалярное произведение:

\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = AB \cdot BC \cdot \cos \theta\).

Подставляем в уравнение:

\(AB \cdot BC \cdot \cos \theta + BC^2 = 0\).

Разделим на \(BC\):

\(AB \cdot \cos \theta + BC = 0\), откуда

\(\cos \theta = -\frac{BC}{AB}\).

Длина медианы \(BD = \frac{\sqrt{3}}{4} AB\) по условию. Вычислим квадрат длины медианы через векторы:

\(BD^2 = \left|\frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\right|^2 = \frac{1}{4} |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|^2\).

Раскроем квадрат модуля суммы:

\(\frac{1}{4} (BA^2 + 2 \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + BC^2) = \frac{1}{4} (AB^2 + 2 AB \cdot BC \cdot \cos \theta + BC^2)\).

Подставим \(\cos \theta = -\frac{BC}{AB}\):

\(\frac{1}{4} (AB^2 + 2 AB \cdot BC \cdot (-\frac{BC}{AB}) + BC^2) = \frac{1}{4} (AB^2 — 2 BC^2 + BC^2)=\)
\( = \frac{1}{4} (AB^2 — BC^2)\).

По условию \(BD = \frac{\sqrt{3}}{4} AB\), значит

\(BD^2 = \frac{3}{16} AB^2\).

Приравняем:

\(\frac{1}{4} (AB^2 — BC^2) = \frac{3}{16} AB^2\).

Умножим обе части на 16:

\(4 (AB^2 — BC^2) = 3 AB^2\),

раскроем скобки:

\(4 AB^2 — 4 BC^2 = 3 AB^2\),

перенесем слагаемые:

\(4 AB^2 — 3 AB^2 = 4 BC^2\),

\(AB^2 = 4 BC^2\),

откуда

\(BC = \frac{AB}{2}\).

Теперь найдем угол \(\angle ABD\). Вектор \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot \cos \angle ABD\).

Вычислим \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA}\):

\(\frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} (BA^2 + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2} (AB^2 + AB \cdot BC \cdot \cos \theta)\).

Подставим \(\cos \theta = -\frac{BC}{AB}\) и \(BC = \frac{AB}{2}\):

\(\frac{1}{2} \left(AB^2 + AB \cdot \frac{AB}{2} \cdot \left(-\frac{\frac{AB}{2}}{AB}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(AB^2 — \frac{AB^2}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} AB^2 = \frac{3}{8} AB^2\).

Длина \(BD = \frac{\sqrt{3}}{4} AB\), длина \(BA = AB\), значит

\(|BD| \cdot |BA| = \frac{\sqrt{3}}{4} AB \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2\).

По формуле скалярного произведения:

\(\cos \angle ABD = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA}}{|BD| \cdot |BA|} = \frac{\frac{3}{8} AB^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} AB^2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда

\(\angle ABD = 30^\circ\).