ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 617 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На сторонах AB и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN и BCKF. Докажите, что медиана BD треугольника ABC перпендикулярна прямой MF.
Дано: \(ABMN\) и \(BCKF\) — квадраты, \(BD\) — медиана.
Рассмотрим треугольник \(ABC\). Тогда \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\), а \(\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BF}\).
В квадрате \(ABMN\) угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BF}\) равен \(90^\circ\), значит \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF} = AB \cdot BC \cdot \cos(90^\circ) = 0\).
В квадрате \(BCKF\) угол между \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BM}\) равен \(90^\circ\), значит \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BM} = BC \cdot AB \cdot \cos(90^\circ) = 0\).
Рассмотрим скалярное произведение:
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BF}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF}+\)
\( + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF})\).
Подставляем нули:
\(\frac{1}{2}( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} + 0 + 0 + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF} ) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF})\).
Из свойств квадратов \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} = — \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF}\), значит
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} — \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB}) = 0\).
Значит \(MF \perp BD\). Что и требовалось доказать.
Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором на сторонах \(AB\) и \(BC\) построены квадраты \(ABMN\) и \(BCKF\) соответственно, расположенные во внешнюю сторону относительно треугольника.
Обозначим \(D\) как середину стороны \(AC\), тогда \(BD\) — медиана треугольника \(ABC\). Введём векторы относительно точки \(B\): \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{BM}\), \(\overrightarrow{BF}\) и \(\overrightarrow{MF}\).
Так как \(D\) — середина \(AC\), то вектор \(BD\) равен половине суммы векторов \(BA\) и \(BC\), то есть
\(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})\).
Вектор \(MF\) можно представить как сумму векторов:
\(\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BF}\).
В квадрате \(ABMN\) стороны \(AB\) и \(BM\) перпендикулярны, следовательно угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{MB}\) равен \(90^\circ\), а значит
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Аналогично, в квадрате \(BCKF\) стороны \(BC\) и \(BF\) перпендикулярны, поэтому угол между \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BF}\) равен \(90^\circ\), и
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF} = 0\).
Рассмотрим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{MF}\):
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BF})\).
Раскроем скобки:
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF})\).
Из свойств квадратов и перпендикулярности известно, что
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BF} = 0\) и \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Тогда выражение упрощается до
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF})\).
Из геометрических свойств квадратов следует, что
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF}\).
Подставим это в выражение:
\(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{MF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB} — \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{MB}) = 0\).
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{MF}\) перпендикулярны, следовательно прямая \(MF\) перпендикулярна медиане \(BD\).
Что и требовалось доказать.
