ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 618 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка M — середина диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 145). Докажите, что четырёхугольники ABMD и CBMD равновелики.

Дано: \( AM = CM \). Нужно доказать, что \( S_{ABMD} = S_{CBMD} \).

Проведём перпендикуляры \( BE \perp AC \), \( DF \perp AC \), где \( E \) и \( F \) лежат на \( AC \).

Площадь четырёхугольника \( ABMD \) равна \( S_{ABMD} = S_{ABM} + S_{ADM} = \frac{1}{2} AM \cdot BE + \frac{1}{2} AM \cdot DF = \frac{1}{2} AM (BE + DF) \).

Так как \( AM = \frac{1}{2} AC \), то \( S_{ABMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AC (BE + DF) = \frac{1}{4} AC (BE + DF) \).

Площадь четырёхугольника \( CBMD \) равна \( S_{CBMD} = S_{CBM} + S_{CDM} = \frac{1}{2} CM \cdot BE + \frac{1}{2} CM \cdot DF = \frac{1}{2} CM (BE + DF) \).

Поскольку \( CM = AM = \frac{1}{2} AC \), то \( S_{CBMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AC (BE + DF) = \frac{1}{4} AC (BE + DF) \).

Следовательно, \( S_{ABMD} = S_{CBMD} \). Что и требовалось доказать.

В четырёхугольнике \( ABCD \) точка \( M \) — середина диагонали \( AC \), значит \( AM = CM \).

Проведём перпендикуляры из точек \( B \) и \( D \) на прямую \( AC \). Обозначим основания перпендикуляров как \( E \) и \( F \) соответственно, то есть \( BE \perp AC \), \( DF \perp AC \), и \( E, F \in AC \).

Рассмотрим площадь четырёхугольника \( ABMD \). Она равна сумме площадей треугольников \( ABM \) и \( ADM \), то есть
\( S_{ABMD} = S_{ABM} + S_{ADM} \).

Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Основанием для треугольников \( ABM \) и \( ADM \) возьмём отрезок \( AM \), а высотами будут длины перпендикуляров из \( B \) и \( D \) на \( AC \), то есть \( BE \) и \( DF \).

Тогда
\( S_{ABM} = \frac{1}{2} AM \cdot BE \) и
\( S_{ADM} = \frac{1}{2} AM \cdot DF \).

Следовательно,
\( S_{ABMD} = \frac{1}{2} AM \cdot BE + \frac{1}{2} AM \cdot DF = \frac{1}{2} AM (BE + DF) \).

Поскольку \( M \) — середина \( AC \), то \( AM = \frac{1}{2} AC \), значит
\( S_{ABMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AC (BE + DF) = \frac{1}{4} AC (BE + DF) \).

Теперь рассмотрим площадь четырёхугольника \( CBMD \). Она равна сумме площадей треугольников \( CBM \) и \( CDM \):
\( S_{CBMD} = S_{CBM} + S_{CDM} \).

Подобно предыдущему,
\( S_{CBM} = \frac{1}{2} CM \cdot BE \) и
\( S_{CDM} = \frac{1}{2} CM \cdot DF \).

Отсюда
\( S_{CBMD} = \frac{1}{2} CM \cdot BE + \frac{1}{2} CM \cdot DF = \frac{1}{2} CM (BE + DF) \).

Так как \( CM = AM = \frac{1}{2} AC \), то
\( S_{CBMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AC (BE + DF) = \frac{1}{4} AC (BE + DF) \).

Таким образом,
\( S_{ABMD} = \frac{1}{4} AC (BE + DF) = S_{CBMD} \).

Это и доказывает равенство площадей четырёхугольников \( ABMD \) и \( CBMD \).