ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 619 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба, делит его сторону на отрезки, один из которых на 7 см больше другого. Найдите периметр ромба, если его высота равна 24 см.

Дано: ромб \( ABCD \), высота \( EF = 24 \) см, \( AE = DE + 7 \) см.

Пусть \( OE = OF = \frac{1}{2} EF = 12 \) см.

Из подобия треугольников: \( AE \cdot DE = OE^2 \).

Подставим: \( (DE + 7) \cdot DE = 12^2 \), то есть \( DE^2 + 7 DE — 144 = 0 \).

Решаем уравнение: дискриминант \( D = 7^2 + 4 \cdot 144 = 625 \).

Корни: \( DE = \frac{-7 \pm 25}{2} \).

Берём положительный корень: \( DE = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Тогда \( AE = 9 + 7 = 16 \).

Длина стороны ромба \( AB = DE + AE = 9 + 16 = 25 \).

Периметр ромба \( P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 25 = 100 \) см.

Ромб \( ABCD \) имеет высоту \( EF = 24 \) см, причём \( AE = DE + 7 \) см. Нужно найти периметр ромба.

Проведём высоту \( EF \) из вершины \( F \) на сторону \( AD \). Точка \( E \) лежит на стороне \( AD \), поэтому высота разбивает сторону \( AD \) на отрезки \( AE \) и \( DE \).

Так как \( EF \) — высота, то она перпендикулярна стороне \( AD \), значит угол \( \angle E = 90^\circ \). Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как \( O \). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому \( OE = OF = \frac{1}{2} EF = \frac{24}{2} = 12 \) см.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOE \) и \( \triangle DOE \). У них общий угол при \( E \) равен \( 90^\circ \), а также угол при \( O \) равен, так как диагонали ромба перпендикулярны. Значит треугольники подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция сторон: \( \frac{AE}{OE} = \frac{OE}{DE} \). Перемножим крест-накрест: \( AE \cdot DE = OE^2 \).

Подставим известные значения: \( (DE + 7) \cdot DE = 12^2 \), то есть \( DE^2 + 7 DE = 144 \).

Перепишем уравнение: \( DE^2 + 7 DE — 144 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \( D = 7^2 + 4 \cdot 144 = 49 + 576 = 625 \).

Найдём корни: \( DE = \frac{-7 \pm 25}{2} \).

Выбираем положительный корень: \( DE = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Тогда \( AE = DE + 7 = 9 + 7 = 16 \).

Длина стороны ромба равна сумме \( AE + DE = 16 + 9 = 25 \) см.

Периметр ромба равен четырём сторонам: \( P_{ABCD} = 4 \cdot 25 = 100 \) см.