ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 62 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите диагональ \(AC\) четырёхугольника \(ABCD\), если около него можно описать окружность и \(AB = 3\) см, \(BC = 4\) см, \(CD = 5\) см, \(AD = 6\) см.

Краткий ответ:

Дано: \(AB = 3\), \(BC = 4\), \(CD = 5\), \(AD = 6\). Четырёхугольник \(ABCD\) вписанный, значит \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), \(\angle B + \angle D = 180^\circ\), поэтому \(\cos \angle B = — \cos \angle D\).

В треугольнике \(ABC\) по теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\).

Подставляем числа: \(AC^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \angle B = 9 + 16 — 24 \cos \angle B = 25 + 24 \cos \angle D\).

В треугольнике \(ADC\) по теореме косинусов: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\).

Подставляем: \(AC^2 = 6^2 + 5^2 — 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \angle D = 36 + 25 — 60 \cos \angle D = 61 — 60 \cos \angle D\).

Приравниваем: \(25 + 24 \cos \angle D = 61 — 60 \cos \angle D\).

Решаем: \(24 \cos \angle D + 60 \cos \angle D = 61 — 25\), \(84 \cos \angle D = 36\), \(\cos \angle D = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}\).

Подставляем в \(AC^2\): \(AC^2 = 25 + 24 \cdot \frac{3}{7} = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175}{7} + \frac{72}{7} = \frac{247}{7}\).

Значит \(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\).

Ответ: \(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\) см.

Подробный ответ:

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, что накладывает важное условие на углы этого четырёхугольника. Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Это означает, что \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). Это свойство очень важно, так как оно позволяет связать углы \(B\) и \(D\). Из равенства суммы углов следует, что косинусы этих углов связаны формулой \(\cos \angle B = — \cos \angle D\), поскольку косинус угла, дополненного до \(180^\circ\), равен минус косинусу самого угла.

Для нахождения длины диагонали \(AC\) мы рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\) по отдельности. В треугольнике \(ABC\) используем теорему косинусов, которая позволяет выразить сторону через две другие стороны и угол между ними. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Подставляя известные длины \(AB = 3\) и \(BC = 4\), получаем \(AC^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \angle B = 9 + 16 — 24 \cos \angle B = 25 — 24 \cos \angle B\). Но помним, что \(\cos \angle B = — \cos \angle D\), следовательно \(AC^2 = 25 + 24 \cos \angle D\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ADC\). Здесь также применим теорему косинусов: \(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle D\). Известно, что \(AD = 6\), \(CD = 5\), тогда \(AC^2 = 6^2 + 5^2 — 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \angle D = 36 + 25 — 60 \cos \angle D = 61 — 60 \cos \angle D\).

Поскольку обе формулы выражают одну и ту же величину \(AC^2\), приравниваем их: \(25 + 24 \cos \angle D = 61 — 60 \cos \angle D\). Переносим все члены с \(\cos \angle D\) в одну сторону и числа — в другую: \(24 \cos \angle D + 60 \cos \angle D = 61 — 25\). Складываем: \(84 \cos \angle D = 36\), откуда \(\cos \angle D = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}\).

Подставим найденное значение \(\cos \angle D\) обратно в выражение для \(AC^2\), например, в \(AC^2 = 25 + 24 \cos \angle D\). Тогда \(AC^2 = 25 + 24 \cdot \frac{3}{7} = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175}{7} + \frac{72}{7} = \frac{247}{7}\). Значит длина диагонали равна \(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\).

Таким образом, используя свойства вписанного четырёхугольника и теорему косинусов в треугольниках, мы нашли точное значение диагонали \(AC\) через известные стороны и углы. Ответ: \(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\) см.

Оцени решение