ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 620 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На высоте правильного треугольника со стороной \(6\sqrt{3}\) см как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, расположенной вне треугольника.

Краткий ответ:

Дано: правильный треугольник с длиной стороны \(6\sqrt{3}\) см. Высота \(BH\) является диаметром окружности.

Сторона \(AC = 6\sqrt{3}\), тогда \(AH = \frac{1}{2} AC = 3\sqrt{3}\).

Высота \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 — (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 — 27} = \sqrt{81} = 9\).

Длина окружности с диаметром \(BH\) равна \(C = \pi \times 9 = 9\pi\).

Дуга вне треугольника составляет \(240^\circ\) из \(360^\circ\), значит длина дуги

\(L_{EBF} = 9\pi \times \frac{240}{360} = 9\pi \times \frac{2}{3} = 6\pi\) см.

Подробный ответ:

Рассмотрим правильный треугольник \(ABC\), у которого все стороны равны, и каждая сторона равна \(6\sqrt{3}\) см. Это значит, что \(AB = BC = AC = 6\sqrt{3}\) см. В правильном треугольнике высота, проведённая из вершины \(B\) на сторону \(AC\), является одновременно медианой и биссектрисой. Следовательно, точка \(H\), в которую опущена высота \(BH\), делит сторону \(AC\) пополам. Это очень важно, так как теперь мы можем найти длину отрезка \(AH\), который равен половине стороны \(AC\). Значит, \(AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) см.

Далее, чтобы найти длину высоты \(BH\), нужно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABH\). Здесь гипотенуза — это сторона \(AB\), которая равна \(6\sqrt{3}\) см, а один из катетов — это \(AH\), равный \(3\sqrt{3}\) см. По теореме Пифагора, квадрат высоты равен разности квадратов гипотенузы и катета: \(BH^2 = AB^2 — AH^2\). Подставляем значения: \(BH^2 = (6\sqrt{3})^2 — (3\sqrt{3})^2 = 108 — 27 = 81\). Отсюда получаем длину высоты \(BH = \sqrt{81} = 9\) см.

Теперь рассмотрим окружность, построенную на диаметре \(BH\). Диаметр этой окружности равен \(9\) см, так как он совпадает с длиной высоты \(BH\). Длина окружности вычисляется по формуле \(C = \pi \times d\), где \(d\) — диаметр. Подставляем: \(C = \pi \times 9 = 9\pi\) см. В условии задачи указано, что нас интересует длина дуги, которая соответствует углу в \(240^\circ\) вне треугольника. Поскольку полный круг равен \(360^\circ\), длина дуги пропорциональна отношению угла к полному кругу. Тогда длина дуги равна \(L = 9\pi \times \frac{240}{360} = 9\pi \times \frac{2}{3} = 6\pi\) см. Таким образом, длина искомой дуги равна \(6\pi\) см.

Оцени решение