ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 628 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямая \( a \) касается полуокружности \( AB \) с центром в точке \( O \) (рис. 159). Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором прямая \( a \) является образом полуокружности \( AB \) с «выколотыми» точками \( A \) и \( B \).
Пусть \(H\) — точка касания прямой \(a\) с полуокружностью. Проведём луч \(OX\) из центра \(O\) через точку \(X\) полуокружности. Пусть \(Y\) — точка пересечения луча \(OX\) с прямой \(a\). Тогда угол \(\angle OHY = 90^\circ\) и
\(OY = \frac{OH}{\cos \angle XOH}\).
Точка касания \(H\) переходит в себя, а каждая точка \(X\) полуокружности переходит в точку \(Y\) на прямой \(a\). Точки \(A\) и \(B\) уходят в бесконечность. Таким образом, проекция с центра \(O\) на прямую \(a\) переводит полуокружность \(AB\) без точек \(A\) и \(B\) в прямую \(a\).
Пусть \(O\) — центр полуокружности \(AB\), а \(a\) — прямая, касающаяся окружности в точке \(H\). Точка \(H\) принадлежит и полуокружности, и прямой \(a\).
Рассмотрим произвольную точку \(X\) на полуокружности \(AB\), отличную от точек \(A\) и \(B\). Проведём луч \(OX\) из центра \(O\) через точку \(X\). Этот луч пересекает прямую \(a\) в точке \(Y\).
Поскольку \(a\) — касательная к окружности в точке \(H\), угол между радиусом \(OH\) и касательной \(a\) равен \(90^\circ\). Значит, угол \(\angle OHY = 90^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(OHY\). Из прямоугольного треугольника по определению косинуса угла \(\angle XOH\) имеем, что длина отрезка \(OY\) выражается как
\(OY = \frac{OH}{\cos \angle XOH}\).
Это показывает, что точка \(Y\) находится на прямой \(a\), и расстояние \(OY\) зависит от угла между радиусом \(OH\) и радиусом \(OX\).
Точки \(A\) и \(B\) лежат на полуокружности в тех местах, где угол \(\angle XOH\) стремится к \(90^\circ\), и тогда \(\cos \angle XOH \to 0\), поэтому \(OY \to \infty\). Это значит, что точки \(A\) и \(B\) переходят в бесконечность на прямой \(a\).
Точка касания \(H\) при этом отображении переходит сама в себя, так как луч \(OH\) пересекает прямую \(a\) именно в точке \(H\).
Таким образом, отображение, которое каждому \(X\) на полуокружности ставит в соответствие точку \(Y\) на прямой \(a\) по правилу пересечения луча \(OX\) с прямой \(a\), переводит полуокружность \(AB\) без точек \(A\) и \(B\) в прямую \(a\).
