ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 629 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором отрезок \( CD \) является образом отрезка \( AB \) (рис. 160).

Пусть точка \( O \) — центр гомотетии, тогда для любой точки \( X \) отрезка \( AB \) найдется точка \( Y \) на отрезке \( CD \), такая что

\( Y = O + k \cdot (X — O) \),

где \( k \) — коэффициент гомотетии. Тогда отрезок \( CD \) является образом отрезка \( AB \) при гомотетии с центром в точке \( O \).

Пусть \( O \) — точка, из которой проводится гомотетия. Рассмотрим отрезок \( AB \) и его образ \( CD \) при этой гомотетии.

Для каждой точки \( X \) на отрезке \( AB \) существует точка \( Y \) на отрезке \( CD \), такая что \( Y \) лежит на луче \( OX \). Это означает, что точки \( X \), \( O \) и \( Y \) коллинеарны, и \( Y \) получается из \( X \) при масштабировании относительно \( O \).

Обозначим коэффициент гомотетии через \( k \). Тогда координаты точки \( Y \) выражаются формулой \( Y = O + k \cdot (X — O) \), где \( k > 0 \).

Если \( k > 1 \), то отрезок \( CD \) больше отрезка \( AB \), если \( 0 < k < 1 \), то \( CD \) меньше \( AB \).

Таким образом, гомотетия с центром в точке \( O \) и коэффициентом \( k \) переводит отрезок \( AB \) в отрезок \( CD \), при этом для каждой точки \( Y \) на \( CD \) существует точка \( X \) на \( AB \), лежащая на отрезке \( OY \).

Это доказывает, что отрезок \( CD \) является образом отрезка \( AB \) при гомотетии с центром \( O \) и коэффициентом \( k \).