Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 63 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Можно ли описать окружность около четырёхугольника \(ABCD\), если \(AB = 4\) см, \(AD = 3\) см, \(BD = 6\) см и \(\angle C = 30^\circ\)?
Дано: \(AB = 4\) см, \(AD = 3\) см, \(BD = 6\) см, \(\angle C = 30^\circ\).
Найти: можно ли описать окружность около четырёхугольника \(ABCD\).
Решение:
Рассмотрим треугольник \(ABD\):
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\);
\(36 = 16 + 9 — 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle A\);
\(36 = 25 — 24 \cos \angle A\);
\(24 \cos \angle A = 25 — 36 = -11\);
\(\cos \angle A = -\frac{11}{24}\).
В четырёхугольнике \(ABCD\) углы \(A\) и \(C\) в сумме равны \(180^\circ\):
\(\angle A + \angle C = 180^\circ\);
\(\angle A + 30^\circ = 180^\circ\);
\(\angle A = 150^\circ\).
\(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Так как \(\cos \angle A = -\frac{11}{24} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}\), четырёхугольник \(ABCD\) не вписан.
Ответ: нет.
Дано: \(AB = 4\) см, \(AD = 3\) см, \(BD = 6\) см, \(\angle C = 30^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\). По теореме косинусов для стороны \(BD\) имеем:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\).
Подставим известные значения:
\(6^2 = 4^2 + 3^2 — 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \angle A\).
Вычислим квадраты сторон:
\(36 = 16 + 9 — 24 \cos \angle A\).
Сложим числа справа:
\(36 = 25 — 24 \cos \angle A\).
Перенесём 25 в левую часть:
\(36 — 25 = -24 \cos \angle A\).
Вычислим разность:
\(11 = -24 \cos \angle A\).
Разделим обе части на \(-24\):
\(\cos \angle A = -\frac{11}{24}\).
Для четырёхугольника \(ABCD\) условие вписанности — сумма противоположных углов равна \(180^\circ\):
\(\angle A + \angle C = 180^\circ\).
По условию \(\angle C = 30^\circ\), значит:
\(\angle A + 30^\circ = 180^\circ\).
Вычислим угол \(A\):
\(\angle A = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ\).
Найдём косинус угла \(150^\circ\):
\(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ — 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Сравним найденные значения косинусов:
\(\cos \angle A = -\frac{11}{24} \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Так как косинусы не равны, угол \(A\) не совпадает с необходимым для вписанности.
Значит, четырёхугольник \(ABCD\) нельзя описать окружностью.
Ответ: нет.
