ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 631 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан угол \( AOB \) (рис. 161). Каждой точке \( X \) стороны \( OA \) поставим в соответствие точку \( X_1 \), которая принадлежит стороне \( OB \) и лежит на окружности с центром \( O \) радиуса \( OX \) (точке \( O \) поставим в соответствие точку \( O \)). Какая фигура является образом стороны \( OA \)? Докажите, что описанное преобразование является движением.

1) Образом луча \( OA \) является луч \( OB \).

2) Пусть точка \( Y \) переходит в точку \( Y_1 \). Тогда \( OY > OX \), \( OY_1 > OX_1 \), \( XY = OY — OX \).

Так как \( OX = OX_1 \) и \( OY = OY_1 \), то \( X_1Y_1 = OY_1 — OX_1 = OY — OX = XY \).

Что и требовалось доказать.

Дан угол \( AOB \). Каждой точке \( X \) на луче \( OA \) ставится в соответствие точка \( X_1 \) на луче \( OB \), лежащая на окружности с центром в \( O \) и радиусом \( OX \). Точку \( O \) ставим в соответствие точке \( O \).

Сначала определим, какой фигурой является образ луча \( OA \). Так как для каждой точки \( X \) на луче \( OA \) существует точка \( X_1 \) на луче \( OB \), расстояние от которой до \( O \) равно расстоянию от \( O \) до \( X \), то множество всех таких точек \( X_1 \) образует луч \( OB \). Значит, образом луча \( OA \) является луч \( OB \).

Теперь докажем, что это преобразование является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Возьмём две точки \( X \) и \( Y \) на луче \( OA \). Пусть \( OX < OY \). Тогда расстояние между точками \( X \) и \( Y \) равно \( XY = OY — OX \), так как они лежат на одном луче.

Пусть точки \( X \) и \( Y \) переходят в точки \( X_1 \) и \( Y_1 \) на луче \( OB \) соответственно. По условию \( OX = OX_1 \) и \( OY = OY_1 \).

Тогда расстояние между точками \( X_1 \) и \( Y_1 \) равно \( X_1Y_1 = OY_1 — OX_1 \).

Подставим равенства: \( X_1Y_1 = OY — OX = XY \).

Таким образом, расстояние между точками не изменилось, значит, преобразование сохраняет расстояния и является движением.

Что и требовалось доказать.