ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 632 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан угол \( MON \). Каждой точке \( X \) стороны \( OM \) поставлена в соответствие такая точка \( X_1 \) стороны \( ON \), что прямая \( XX_1 \) перпендикулярна биссектрисе угла \( MON \) (точке \( O \) соответствует точка \( O \)). Докажите, что описанное преобразование является движением.
Рассмотрим треугольник \( OXX_1 \). Так как \( OH \) — биссектриса угла \( \angle XOX_1 \) и высота, то \( \triangle OXX_1 \) равнобедренный, значит \( OX = OX_1 \).
Аналогично для любой точки \( Y \in OM \) и соответствующей \( Y_1 \in ON \) получаем \( OY = OY_1 \).
Углы \( \angle XOY \) и \( \angle X_1OY_1 \) равны, так как \( OH \) — биссектриса.
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними имеем \( \triangle OXY = \triangle OX_1Y_1 \), значит \( XY = X_1Y_1 \).
Отображение сохраняет расстояния, значит это движение.
Рассмотрим треугольник \( OXX_1 \). По условию \( XX_1 \perp OH \), а \( OH \) — биссектриса угла \( \angle MON \). Значит \( OH \) является высотой и биссектрисой в треугольнике \( OXX_1 \). Отсюда следует, что треугольник \( OXX_1 \) равнобедренный с основанием \( XX_1 \), и поэтому \( OX = OX_1 \).
Аналогично для точки \( Y \in OM \) и соответствующей точки \( Y_1 \in ON \), построенной так же, что \( YY_1 \perp OH \), треугольник \( OYY_1 \) равнобедренный, значит \( OY = OY_1 \).
Угол \( \angle XOY \) равен углу \( \angle X_1OY_1 \), так как точки \( X \) и \( X_1 \), а также \( Y \) и \( Y_1 \) расположены симметрично относительно биссектрисы \( OH \).
Рассмотрим треугольники \( OXY \) и \( OX_1Y_1 \). У них равны две стороны: \( OX = OX_1 \) и \( OY = OY_1 \), а также угол между этими сторонами \( \angle XOY = \angle X_1OY_1 \).
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, треугольники \( OXY \) и \( OX_1Y_1 \) равны. Значит, соответствующие стороны равны, в частности \( XY = X_1Y_1 \).
Таким образом, отображение \( X \mapsto X_1 \), заданное через построение перпендикуляра к биссектрисе угла \( \angle MON \), сохраняет расстояния между точками, то есть является движением.
