ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 633 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны прямая \( a \) и отрезок \( AB \), не имеющий с ней общих точек. Каждой точке \( X \) отрезка \( AB \) поставлено в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из точки \( X \) на прямую \( a \). При каком взаимном расположении прямой \( a \) и отрезка \( AB \) описанное преобразование является движением?

Дано: \(X \in AB\), \(X_1 \in a\), \(XX_1 \perp a\), \(AB = A_1B_1\).

1) В четырёхугольнике \(AA_1B_1B\): \(AA_1 \perp A_1B_1\), \(BB_1 \perp A_1B_1\), \(AA_1 \parallel BB_1\).

2) Если \(AB \not\parallel A_1B_1\), тогда \(AA_1B_1B\) — прямоугольная трапеция; \(AB > A_1B_1\).

3) Если \(AB \parallel A_1B_1\), тогда \(AA_1B_1B\) — прямоугольник; \(AB = A_1B_1\).

Ответ: \(AB \parallel a\).

Пусть дана прямая \(a\) и отрезок \(AB\), который не пересекает прямую \(a\). Для каждой точки \(X\) на отрезке \(AB\) построено основание перпендикуляра \(X_1\) на прямую \(a\), то есть \(XX_1 \perp a\).

Рассмотрим точки \(A_1\) и \(B_1\) — основания перпендикуляров из точек \(A\) и \(B\) на прямую \(a\). Тогда \(A_1, B_1 \in a\).

Рассмотрим четырёхугольник \(AA_1B_1B\). По построению \(AA_1 \perp a\) и \(BB_1 \perp a\), значит \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(BB_1 \perp A_1B_1\). Следовательно, отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны.

Если отрезок \(AB\) не параллелен прямой \(a\), тогда \(AA_1B_1B\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AB\) и \(A_1B_1\). В этом случае длина \(AB\) больше длины \(A_1B_1\), так как проекция отрезка на прямую короче самого отрезка. Значит, преобразование не сохраняет длины и не является движением.

Если отрезок \(AB\) параллелен прямой \(a\), тогда \(AA_1B_1B\) — прямоугольник, и длины \(AB\) и \(A_1B_1\) равны. В этом случае проекция отрезка \(AB\) на прямую \(a\) равна длине самого отрезка, значит преобразование сохраняет длину и является движением.

Ответ: \(AB \parallel a\).