ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 634 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \( A_1 \) и \( B_1 \) не принадлежат прямой \( AB \) и являются образами соответственно точек \( A \) и \( B \) при параллельном переносе. Докажите, что четырёхугольник \( AA_1B_1B \) — параллелограмм.

Дано: \( A \to A_1 \), \( B \to B_1 \) — параллельный перенос. Нужно доказать, что \( AA_1B_1B \) — параллелограмм.

Решение: при параллельном переносе отрезки \( AA_1 \) и \( BB_1 \) равны и параллельны, то есть \( AA_1 = BB_1 \) и \( AA_1 \parallel BB_1 \). Также \( AB \parallel A_1B_1 \) и \( AB = A_1B_1 \). Значит, в четырёхугольнике \( AA_1B_1B \) противоположные стороны равны и параллельны, значит это параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Пусть \( A \to A_1 \) и \( B \to B_1 \) — параллельный перенос. Это значит, что вектор переноса одинаков для всех точек, то есть \( \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} \).

Так как векторы равны, отрезки \( AA_1 \) и \( BB_1 \) равны по длине и параллельны, то есть \( AA_1 = BB_1 \) и \( AA_1 \parallel BB_1 \).

Кроме того, параллельный перенос сохраняет длины и направления, поэтому отрезки \( AB \) и \( A_1B_1 \) тоже равны и параллельны, то есть \( AB = A_1B_1 \) и \( AB \parallel A_1B_1 \).

Таким образом, четырёхугольник \( AA_1B_1B \) имеет две пары противоположных сторон, которые равны и параллельны: \( AA_1 \parallel BB_1 \), \( AA_1 = BB_1 \), \( AB \parallel A_1B_1 \), \( AB = A_1B_1 \).

По определению параллелограмма, если противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, \( AA_1B_1B \) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.