ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 638 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Дан параллелограмм \( ABCD \). Какой вектор задаёт параллельный перенос, при котором сторона \( AD \) является образом стороны \( BC \)?

Краткий ответ:

Дан треугольник \( ABC \).

1) Если \( C \to A \) и \( B \to B \), тогда:
\( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BB} \),
\( \overrightarrow{CA} = \vec{0} \),
\( AC = 0 \);

2) Если \( B \to A \) и \( C \to B \), тогда:
\( \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} \),
\( \overrightarrow{BA} — \overrightarrow{CB} = \vec{0} \),
\( \frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = \vec{0} \),
\( BM = 0 \);

Ответ: нет.

Подробный ответ:

Дан треугольник \( ABC \).

Рассмотрим первый случай: если точка \( C \) переходит в точку \( A \), а точка \( B \) остаётся на месте. Тогда вектор \( \overrightarrow{CA} \) должен равняться вектору \( \overrightarrow{BB} \). Но вектор \( \overrightarrow{BB} \) — это нулевой вектор, так как начальная и конечная точки совпадают. Значит, \( \overrightarrow{CA} = \vec{0} \), что возможно только если длина отрезка \( AC = 0 \). Это невозможно для треугольника, поэтому такой перенос невозможен.

Рассмотрим второй случай: если точка \( B \) переходит в точку \( A \), а точка \( C \) переходит в точку \( B \). Тогда вектор \( \overrightarrow{BA} \) должен равняться вектору \( \overrightarrow{CB} \). Запишем это равенство: \( \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} \).

Вычитая \( \overrightarrow{CB} \) из обеих частей, получаем \( \overrightarrow{BA} — \overrightarrow{CB} = \vec{0} \).

Поскольку \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \), а \( \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} \), то выражение можно переписать как \( -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{0} \), или \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \).

Если усреднить эти два вектора, получим \( \frac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = \vec{0} \).

Это означает, что точка \( M \), середина отрезка \( BC \), совпадает с точкой \( B \), то есть \( BM = 0 \), что невозможно.

Таким образом, параллельный перенос, при котором сторона \( AB \) является образом стороны \( BC \), не существует.

Оцени решение