Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 64 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Дано: параллелограмм \(ABCD\), \( \angle B > \angle A \), \( AC > BD \).
В параллелограмме \(ABCD\):
\(AB = CD\), \(BC = AD\),
\(\angle B = 180^\circ — \angle A\),
\(\cos \angle B = — \cos \angle A\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\):
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A = AB^2 +\)
\(+ BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\):
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = AB^2 + \)
\(+BC^2 + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A\).
Если \(\angle B > \angle A\), то \(\angle A < 90^\circ\), \(\cos \angle A > 0\), значит
\(AC^2 > BD^2\), откуда \(AC > BD\).
Если \(AC > BD\), то \(AC^2 > BD^2\), значит
\(4 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A > 0\), откуда \(\cos \angle A > 0\), \(\angle A < 90^\circ\), следовательно \(\angle B > \angle A\).
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). По определению параллелограмма противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Также известно, что сумма соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\), следовательно, если обозначить один из углов, например, \( \angle A\), то соседний с ним угол \( \angle B\) будет равен \(180^\circ — \angle A\). Это важное свойство углов параллелограмма, которое мы будем использовать далее.
Чтобы понять связь между углами и диагоналями параллелограмма, рассмотрим диагонали \(AC\) и \(BD\). Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины. В нашем случае диагональ \(AC\) соединяет вершины \(A\) и \(C\), а диагональ \(BD\) соединяет вершины \(B\) и \(D\). Для вычисления длин диагоналей применим теорему косинусов к треугольникам, образованным этими диагоналями. В треугольнике \(ABC\) длина диагонали \(AC\) связана с сторонами \(AB\), \(BC\) и углом \( \angle B\) по формуле: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Аналогично в треугольнике \(ABD\) длина диагонали \(BD\) связана с сторонами \(AB\), \(AD\) и углом \( \angle A\) по формуле: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\).
Поскольку \(AD = BC\), подставим это равенство в формулу для \(BD^2\), получим: \(BD^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A\). Теперь вспомним, что \( \angle B = 180^\circ — \angle A\), значит \(\cos \angle B = \cos (180^\circ — \angle A) = — \cos \angle A\). Подставим это в формулу для \(AC^2\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot (- \cos \angle A) = AB^2 + BC^2 +\)
\(+ 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A\).
Разница квадратов диагоналей будет равна \(AC^2 — BD^2 = (AB^2 + BC^2 + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A) — (AB^2 + BC^2 -\)
\(- 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A) = 4 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A\).
Если \( \angle B > \angle A\), то \( \angle A < 90^\circ\), значит \(\cos \angle A > 0\). Следовательно, \(AC^2 — BD^2 > 0\), то есть \(AC > BD\). Обратно, если \(AC > BD\), то \(AC^2 > BD^2\), значит \(4 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle A > 0\), откуда \(\cos \angle A > 0\), и значит \( \angle A < 90^\circ\). Поскольку \( \angle B = 180^\circ — \angle A\), то \( \angle B > \angle A\). Таким образом, доказано, что \( \angle B > \angle A\) тогда и только тогда, когда диагональ \(AC\) больше диагонали \(BD\).
