ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 644 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является окружность.
Дан прямоугольник \(ABCD\). Построим окружность с центром \(O\), описанную около прямоугольника. Точки \(A, B, C, D\) лежат на этой окружности. Для каждой точки \(X\) на сторонах прямоугольника определим точку \(X_1\) на луче \(OX\) так, чтобы \(X_1\) принадлежала окружности. Тогда преобразование \(X \to X_1\) переводит стороны прямоугольника в окружность. Центр \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Таким образом, образ фигуры, состоящей из точек сторон прямоугольника, — окружность с центром в \(O\).
Дан прямоугольник \(ABCD\). Построим описанную окружность с центром \(O\), которая проходит через все четыре вершины \(A, B, C, D\). Центр \(O\) — это точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\), так как в прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в середине.
Пусть \(X\) — произвольная точка на сторонах прямоугольника. Проведём луч \(OX\) от центра окружности к точке \(X\). На этом луче найдём точку \(X_1\), лежащую на описанной окружности. Таким образом, точка \(X_1\) определяется пересечением луча \(OX\) с окружностью.
Это отображение \(X \to X_1\) переводит каждую точку \(X\) на сторонах прямоугольника в точку \(X_1\) на окружности. При этом все точки сторон прямоугольника переходят в точки окружности, так как вершины \(A, B, C, D\) сами лежат на окружности.
Так как для каждой точки \(X\) на стороне прямоугольника существует единственная точка \(X_1\) на луче \(OX\), лежащая на окружности, то образ фигуры, состоящей из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника, является окружностью с центром \(O\).
Таким образом, преобразование, при котором каждой точке \(X\) на сторонах прямоугольника ставится в соответствие точка \(X_1\) на луче \(OX\), лежащая на описанной окружности, переводит фигуру, состоящую из сторон прямоугольника, в окружность.
