ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 645 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является фигура, состоящая из всех точек сторон ромба.
Дан прямоугольник \(ABCD\). Пусть \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), а \(M\) и \(N\) — середины сторон \(CD\) и \(DA\). Построим ромб \(EFMN\).
Образом точек \(X\) прямоугольника является точка \(X_1 = EF \cap OX\), где \(O = AC \cap BD\), а \(E\) и \(F\) — ближайшие середины сторон прямоугольника \(ABCD\).
Таким образом, преобразование, при котором образом фигуры, состоящей из всех точек сторон прямоугольника, является фигура, состоящая из всех точек сторон ромба \(EFMN\), — это отображение, которое переводит точки прямоугольника в точки ромба, построенного на серединах его сторон.
Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). Обозначим \(E\) и \(F\) как середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно, а \(M\) и \(N\) — середины сторон \(CD\) и \(DA\). Построим ромб \(EFMN\) на этих точках.
Пусть координаты точек прямоугольника \(ABCD\) известны. Тогда координаты точек \(E, F, M, N\) находятся как средние арифметические концов соответствующих сторон. Например, если \(A = (x_A, y_A)\) и \(B = (x_B, y_B)\), то \(E = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).
Ромб \(EFMN\) образуется соединением точек \(E, F, M, N\). Он лежит внутри прямоугольника \(ABCD\) и его стороны параллельны диагоналям прямоугольника.
Рассмотрим преобразование, которое переводит прямоугольник \(ABCD\) в ромб \(EFMN\). Такое преобразование — аффинное, оно сохраняет параллельность и переводит середины сторон прямоугольника в вершины ромба.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), тогда \(O\) является центром и прямоугольника, и ромба \(EFMN\).
Для любой точки \(X\) на стороне прямоугольника рассмотрим луч \(OX\). Точка пересечения этого луча с ромбом \(EFMN\) будет образом точки \(X\) при заданном преобразовании.
Таким образом, преобразование можно описать так: каждой точке \(X\) прямоугольника ставится в соответствие точка \(X_1\), лежащая на луче \(OX\), где \(X_1\) — точка пересечения этого луча с ромбом \(EFMN\).
Это преобразование переводит все точки сторон прямоугольника в точки сторон ромба \(EFMN\), а значит, образом фигуры, состоящей из всех точек сторон прямоугольника, является фигура, состоящая из всех точек сторон ромба.
Итог: преобразование — отображение, которое переводит точки прямоугольника в точки ромба, построенного на серединах его сторон, через пересечение лучей от центра \(O\) с ромбом \(EFMN\).
