ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 648 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки А (1; 3), В (2; 6), С (-3; 1) являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является точка О₁ (-2; -4). Найдите образы точек А, В, С и D при таком параллельном переносе.

При параллельном переносе точки \( O \) (середина отрезка \( AC \)) из \( (-1; 2) \) в \( (-2; -4) \) смещение равно \( \Delta x = -1 \), \( \Delta y = -6 \).

Тогда образы точек:

\( A_1: x = 1 — 1 = 0, \quad y = 3 — 6 = -3 \)

\( B_1: x = 2 — 1 = 1, \quad y = 6 — 6 = 0 \)

\( C_1: x = -3 — 1 = -4, \quad y = 1 — 6 = -5 \)

\( D_1: x = -4 — 1 = -5, \quad y = -5 — 3 = -8 \)

Ответ: \( A_1(0; -3), \quad B_1(1; 0), \quad C_1(-4; -5), \quad D_1(-5; -8) \)

Для решения задачи о параллельном переносе параллелограмма ABCD с заданными вершинами A(1; 3), B(2; 6), C(-3; 1) и точкой пересечения диагоналей, которая после переноса становится O1(-2; -4), мы пройдем через все шаги с максимальной детализацией, объясняя каждый этап. Наша цель — найти образы точек A, B, C и D после такого параллельного переноса.

Сначала разберем, что такое параллелограмм и его свойства, которые нам понадобятся. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам. Эта точка называется центром параллелограмма или точкой пересечения диагоналей. В данном случае у нас есть параллелограмм ABCD, и точка пересечения диагоналей обозначается как O. После параллельного переноса эта точка O становится точкой O1(-2; -4). Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором каждая точка смещается на одинаковый вектор. Таким образом, если мы найдем вектор смещения для точки O, то сможем применить его ко всем остальным точкам параллелограмма.

Теперь вычислим координаты точки O — точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. В параллелограмме точка пересечения диагоналей является серединой каждой из диагоналей. Рассмотрим диагональ AC. Точки A(1; 3) и C(-3; 1) являются концами этой диагонали. Координаты середины отрезка AC вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка. Для x-координаты: \( x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Для y-координаты: \( y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Таким образом, координаты точки O равны (-1; 2). Чтобы убедиться в правильности вычислений, можно проверить середину другой диагонали BD, но поскольку точка D нам пока неизвестна, мы доверимся этому результату и подтвердим его позже.

Далее нам нужно найти координаты точки D, чтобы полностью описать параллелограмм ABCD. В параллелограмме сумма векторов противоположных сторон равна нулю, или, что то же самое, координаты точки D можно найти, используя свойство векторов. Вектор AB должен быть равен вектору DC, а вектор AD — вектору BC. Используем это свойство. Вектор AB равен \( (x_B — x_A; y_B — y_A) = (2 — 1; 6 — 3) = (1; 3) \). Тогда вектор DC должен быть таким же, то есть \( (x_C — x_D; y_C — y_D) = (1; 3) \). Подставим координаты точки C(-3; 1): \( x_C — x_D = 1 \), откуда \( -3 — x_D = 1 \), следовательно, \( x_D = -3 — 1 = -4 \). Аналогично для y-координаты: \( y_C — y_D = 3 \), откуда \( 1 — y_D = 3 \), следовательно, \( y_D = 1 — 3 = -2 \). Таким образом, координаты точки D равны (-4; -2). Теперь у нас есть все вершины параллелограмма: A(1; 3), B(2; 6), C(-3; 1), D(-4; -2).

Проверим, действительно ли точка O(-1; 2) является серединой диагонали BD, чтобы убедиться в правильности координат. Координаты точки B(2; 6), точки D(-4; -2). Середина отрезка BD: \( x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \), \( y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Да, координаты совпадают, значит, O(-1; 2) действительно является точкой пересечения диагоналей.

Теперь перейдем к параллельному переносу. Нам известно, что при параллельном переносе точка O(-1; 2) переходит в точку O1(-2; -4). Параллельный перенос означает, что каждая точка фигуры смещается на один и тот же вектор. Найдем этот вектор смещения. Вектор смещения равен разности координат точки O1 и точки O. Для x-координаты: \( \Delta x = x_{O1} — x_O = -2 — (-1) = -2 + 1 = -1 \). Для y-координаты: \( \Delta y = y_{O1} — y_O = -4 — 2 = -6 \). Таким образом, вектор смещения равен (-1; -6). Это означает, что каждая точка параллелограмма должна быть смещена на -1 по оси x и на -6 по оси y.

При параллельном переносе координаты каждой точки изменяются следующим образом: новая x-координата равна старой x-координате плюс \( \Delta x \), а новая y-координата равна старой y-координате плюс \( \Delta y \). Формула переноса для любой точки с координатами (x; y) выглядит так: \( x’ = x + \Delta x \), \( y’ = y + \Delta y \). В нашем случае \( \Delta x = -1 \), \( \Delta y = -6 \), поэтому \( x’ = x — 1 \), \( y’ = y — 6 \). Теперь применим эту формулу ко всем вершинам параллелограмма ABCD.

Начнем с точки A(1; 3). Новая x-координата: \( x_{A1} = x_A + \Delta x = 1 + (-1) = 1 — 1 = 0 \). Новая y-координата: \( y_{A1} = y_A + \Delta y = 3 + (-6) = 3 — 6 = -3 \). Таким образом, образ точки A при параллельном переносе — это точка A1(0; -3). Запишем это подробно: исходная точка A имеет координаты x=1, y=3; после смещения на вектор (-1; -6) новая точка A1 имеет координаты x=1-1=0, y=3-6=-3, то есть A1(0; -3).

Теперь рассмотрим точку B(2; 6). Новая x-координата: \( x_{B1} = x_B + \Delta x = 2 + (-1) = 2 — 1 = 1 \). Новая y-координата: \( y_{B1} = y_B + \Delta y = 6 + (-6) = 6 — 6 = 0 \). Следовательно, образ точки B — это точка B1(1; 0). Подробно: исходная точка B с координатами x=2, y=6; после смещения на вектор (-1; -6) получаем x=2-1=1, y=6-6=0, то есть B1(1; 0).

Далее точка C(-3; 1). Новая x-координата: \( x_{C1} = x_C + \Delta x = -3 + (-1) = -3 — 1 = -4 \). Новая y-координата: \( y_{C1} = y_C + \Delta y = 1 + (-6) = 1 — 6 = -5 \). Таким образом, образ точки C — это точка C1(-4; -5). Развернуто: исходная точка C имеет координаты x=-3, y=1; после переноса на вектор (-1; -6) получаем x=-3-1=-4, y=1-6=-5, то есть C1(-4; -5).

Теперь точка D(-4; -2). Новая x-координата: \( x_{D1} = x_D + \Delta x = -4 + (-1) = -4 — 1 = -5 \). Новая y-координата: \( y_{D1} = y_D + \Delta y = -2 + (-6) = -2 — 6 = -8 \). Следовательно, образ точки D — это точка D1(-5; -8). Подробно: исходная точка D с координатами x=-4, y=-2; после смещения на вектор (-1; -6) получаем x=-4-1=-5, y=-2-6=-8, то есть D1(-5; -8).

Чтобы убедиться в правильности наших вычислений, проверим, сохраняются ли свойства параллелограмма после переноса. В параллелограмме диагонали должны пересекаться в одной точке, которая является серединой каждой диагонали. Найдем точку пересечения диагоналей нового параллелограмма A1B1C1D1. Возьмем диагональ A1C1. Точки A1(0; -3) и C1(-4; -5). Середина отрезка A1C1: \( x = \frac{0 + (-4)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \), \( y = \frac{-3 + (-5)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \). Таким образом, середина A1C1 — это точка (-2; -4), что совпадает с заданной точкой O1(-2; -4). Теперь проверим диагональ B1D1. Точки B1(1; 0) и D1(-5; -8). Середина отрезка B1D1: \( x = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \), \( y = \frac{0 + (-8)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \). Снова получаем точку (-2; -4). Это подтверждает, что точка O1(-2; -4) является точкой пересечения диагоналей нового параллелограмма, а значит, перенос выполнен корректно.

Также можно проверить, сохраняется ли равенство векторов противоположных сторон. Вектор A1B1: \( (x_{B1} — x_{A1}; y_{B1} — y_{A1}) = (1 — 0; 0 — (-3)) = (1; 3) \). Вектор D1C1: \( (x_{C1} — x_{D1}; y_{C1} — y_{D1}) = (-4 — (-5); -5 — (-8)) = (1; 3) \). Векторы A1B1 и D1C1 равны, что соответствует свойству параллелограмма. Аналогично вектор A1D1: \( (-5 — 0; -8 — (-3)) = (-5; -5) \), вектор B1C1: \( (-4 — 1; -5 — 0) = (-5; -5) \). Векторы A1D1 и B1C1 также равны. Это еще раз подтверждает, что фигура после переноса остается параллелограммом.

Итак, мы нашли образы всех точек параллелограмма ABCD при заданном параллельном переносе. Давайте подведем итог и запишем координаты всех точек после переноса. Точка A(1; 3) переходит в A1(0; -3), точка B(2; 6) переходит в B1(1; 0), точка C(-3; 1) переходит в C1(-4; -5), точка D(-4; -2) переходит в D1(-5; -8). Эти координаты полностью совпадают с приведенным в задаче кратким ответом, что подтверждает правильность наших вычислений.

Для полноты объяснения отметим, что параллельный перенос — это изометрическое преобразование, которое сохраняет все геометрические свойства фигуры, такие как длины сторон, углы и площадь. Вектор смещения (-1; -6) был определен на основе переноса точки пересечения диагоналей O в O1, и этот вектор был равномерно применен ко всем вершинам параллелограмма. Если бы задача требовала дополнительных проверок, например, вычисления расстояний между точками до и после переноса, мы могли бы показать, что расстояния между соответствующими точками остаются неизменными. Например, расстояние между A и B до переноса: \( \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2} = \sqrt{(2-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2}=\)
\( = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \). После переноса расстояние между A1 и B1: \( \sqrt{(1-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \). Расстояния совпадают, что ожидаемо для параллельного переноса.

Таким образом, мы получили полное решение задачи с подробным объяснением каждого шага. Образы точек при параллельном переносе: A1(0; -3), B1(1; 0), C1(-4; -5), D1(-5; -8). Этот результат соответствует краткому ответу, приведенному в задании, и был получен путем последовательного применения свойств параллелограмма и правил параллельного переноса.