ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 65 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Краткий ответ:

Дано: \( AB = 12 \), \( BC = 15 \), \( AC = 18 \), нужно найти \( BD \) — биссектрису угла \( B \).

По свойству биссектрисы: \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \). Пусть \( AD = 4x \), тогда \( DC = 5x \).

\( AD + DC = AC \Rightarrow 4x + 5x = 18 \Rightarrow 9x = 18 \Rightarrow x = 2 \).

Тогда \( AD = 8 \), \( DC = 10 \).

В треугольнике \( ABC \) по теореме косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \).

Подставим: \( 15^2 = 12^2 + 18^2 — 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos \angle A \).

\( 225 = 144 + 324 — 432 \cos \angle A \).

\( 225 = 468 — 432 \cos \angle A \Rightarrow 432 \cos \angle A = 243 \Rightarrow \cos \angle A = \frac{243}{432} = \frac{9}{16} \).

В треугольнике \( ABD \) по теореме косинусов: \( BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A \).

Подставим: \( BD^2 = 12^2 + 8^2 — 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{9}{16} \).

\( BD^2 = 144 + 64 — 192 \cdot \frac{9}{16} = 208 — 108 = 100 \).

Тогда \( BD = \sqrt{100} = 10 \).

Подробный ответ:

В треугольнике \( ABC \) даны стороны \( AB = 12 \), \( BC = 15 \), \( AC = 18 \). Нужно найти длину биссектрисы \( BD \), проведённой из вершины \( B \) к стороне \( AC \). Для этого сначала вспомним свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам треугольника. То есть точка \( D \) на стороне \( AC \) такова, что отношение отрезков \( AD \) и \( DC \) равно отношению сторон \( AB \) и \( BC \). Запишем это в виде формулы: \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \).

Подставим известные нам значения: \( \frac{AD}{DC} = \frac{12}{15} \). Чтобы упростить, сократим дробь: \( \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \). Теперь обозначим \( AD = 4x \), тогда \( DC = 5x \), где \( x \) — некий множитель. Поскольку \( AD \) и \( DC \) вместе составляют всю сторону \( AC \), то есть \( AD + DC = AC \), можем записать уравнение: \( 4x + 5x = 18 \). Это упрощается до \( 9x = 18 \), откуда находим \( x = 2 \). Теперь вычислим конкретные длины отрезков: \( AD = 4 \times 2 = 8 \), \( DC = 5 \times 2 = 10 \).

Следующий шаг — найти длину биссектрисы \( BD \). Для этого нам понадобится угол \( \angle A \) в треугольнике \( ABC \). Чтобы найти этот угол, используем теорему косинусов, которая связывает стороны и угол треугольника: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \). Подставим известные значения: \( 15^2 = 12^2 + 18^2 — 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos \angle A \). Вычислим квадраты: \( 225 = 144 + 324 — 432 \cos \angle A \). Сложим числа справа: \( 225 = 468 — 432 \cos \angle A \). Перенесём \( 468 \) в левую часть: \( 225 — 468 = -432 \cos \angle A \), то есть \( -243 = -432 \cos \angle A \). Делим обе части на \( -432 \), получаем \( \cos \angle A = \frac{243}{432} \). Упростим дробь: \( \cos \angle A = \frac{9}{16} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \), в котором нам нужно найти сторону \( BD \). В этом треугольнике известны стороны \( AB = 12 \), \( AD = 8 \) и угол между ними \( \angle A \), косинус которого мы нашли — \( \frac{9}{16} \). Применим теорему косинусов: \( BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A \). Подставим числа: \( BD^2 = 12^2 + 8^2 — 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{9}{16} \). Вычислим квадраты: \( BD^2 = 144 + 64 — 192 \cdot \frac{9}{16} \). Упростим произведение: \( 192 \cdot \frac{9}{16} = 192 \times 0.5625 = 108 \). Тогда \( BD^2 = 208 — 108 = 100 \). Извлечём корень: \( BD = \sqrt{100} = 10 \). Таким образом, длина биссектрисы \( BD \) равна 10.

Оцени решение