ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 656 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В каком месте надо построить мост \( MN \) через реку, разделяющую два населённых пункта \( A \) и \( B \) (рис. 162), чтобы путь \( AMNB \) был кратчайшим (берега реки считаем параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)?
Пусть \( A \to A_1 \) — отражение точки \( A \) относительно берега с точкой \( N \). Тогда \( AMNA_1 \) — параллелограмм, \( A_1 N = AM \), \( A_1 N \parallel AM \).
Длина пути \( AMNB \):
\( S_{AMNB} = AM + MN + NB = MN + (A_1 N + NB) \).
Кратчайший путь, если точки \( A_1, N, B \) лежат на одной прямой.
Ответ: \( N \in A_1 B \), \( AA_1 = MN \), \( AA_1 \parallel MN \).
Пусть даны два берега реки, параллельные прямые, и две точки \( A \) и \( B \) по разные стороны реки. Нужно построить мост \( MN \), перпендикулярный берегам, чтобы путь \( AMNB \) был кратчайшим.
Отразим точку \( A \) относительно берега, на котором находится точка \( N \), получим точку \( A_1 \). По свойствам отражения расстояния и углы сохраняются, поэтому \( AMNA_1 \) — параллелограмм, где \( A_1 N = AM \) и \( A_1 N \parallel AM \).
Длина пути \( AMNB \) равна сумме отрезков \( AM + MN + NB \). Поскольку \( AM = A_1 N \), можно записать \( S_{AMNB} = A_1 N + MN + NB \). Но \( MN \) — перпендикуляр к берегам и равен расстоянию между берегами, то есть постоянен.
Чтобы минимизировать \( S_{AMNB} \), нужно минимизировать сумму \( A_1 N + NB \). Минимальная сумма расстояний между двумя точками достигается по прямой линии, значит точки \( A_1, N, B \) должны лежать на одной прямой.
Точка \( N \) — точка пересечения прямой, проходящей через \( A_1 \) и \( B \), с берегом реки. Точка \( M \) — проекция \( N \) на противоположный берег, так как мост перпендикулярен берегам.
Таким образом, чтобы путь \( AMNB \) был кратчайшим, нужно построить мост \( MN \), где \( N \) лежит на пересечении прямой \( A_1 B \) с берегом, а \( M \) — на противоположном берегу, перпендикулярно \( N \).
