ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 657 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если периметр данного треугольника равен 18 см?

Дано: периметр треугольника \(ABC\) равен 18 см. Через каждую вершину проведена прямая, параллельная противоположной стороне.

В четырёхугольнике \(ABFC\): \(AB \parallel FC\), \(AC \parallel BF\), значит \(ABFC\) — параллелограмм, и \(BF = AC\).

В четырёхугольнике \(AEBC\): \(AE \parallel BC\), \(AC \parallel EB\), значит \(AEBC\) — параллелограмм, и \(EB = AC\).

Аналогично: \(AE = AN = BC\), \(FC = CN = AB\).

В треугольнике \(EFN\): \(EF = 2AC\), \(FN = 2AB\), \(EN = 2BC\).

Периметр \(EFN = EF + FN + EN = 2AC + 2AB + 2BC = 2(AB + BC + AC)=\)
\( = 2 \cdot 18 = 36\) см.

Пусть \(ABC\) — исходный треугольник с периметром \(P_{ABC} = 18\) см. Через каждую вершину проведены прямые, параллельные противоположным сторонам: \(EF \parallel AC\), \(FN \parallel AB\), \(EN \parallel BC\).

Рассмотрим четырёхугольник \(ABFC\). Так как \(EF \parallel AC\), то \(FC \parallel AB\) (по условию), следовательно \(AB \parallel FC\) и \(AC \parallel BF\). Значит \(ABFC\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(BF = AC\).

Аналогично рассмотрим четырёхугольник \(AEBC\). Здесь \(AE \parallel BC\) и \(AC \parallel EB\), значит \(AEBC\) — параллелограмм. Тогда \(EB = AC\).

Рассмотрим остальные стороны. Из параллельности и равенства сторон следует, что \(AE = AN = BC\) и \(FC = CN = AB\).

Теперь найдём стороны треугольника \(EFN\). Так как \(EF\) состоит из двух отрезков, равных \(AC\), то \(EF = 2AC\). Аналогично \(FN = 2AB\) и \(EN = 2BC\).

Периметр треугольника \(EFN\) равен сумме его сторон: \(P_{EFN} = EF + FN + EN = 2AC + 2AB + 2BC = 2(AB + BC + AC)\).

Так как периметр исходного треугольника \(ABC\) равен 18 см, то \(P_{EFN} = 2 \times 18 = 36\) см.