ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 658 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что четырёхугольник с вершинами \( A (-3; -4) \), \( B (0; 3) \), \( C (7; 6) \) и \( D (4; -1) \) является ромбом, и найдите его площадь.

Краткий ответ:

Вычислим векторы:
\( \overrightarrow{AB} = (0 — (-3); 3 — (-4)) = (3; 7) \)
\( \overrightarrow{DC} = (7 — 4; 6 — (-1)) = (3; 7) \)
Векторы равны.

Вычислим векторы диагоналей:
\( \overrightarrow{AC} = (7 — (-3); 6 — (-4)) = (10; 10) \)
\( \overrightarrow{BD} = (4 — 0; -1 — 3) = (4; -4) \)

Скалярное произведение:
\( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 10 \cdot 4 + 10 \cdot (-4) = 40 — 40 = 0 \)
Значит диагонали перпендикулярны.

Длины диагоналей:
\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10^{2} + 10^{2}} = \sqrt{200} \)
\( |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{4^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{32} \)

Площадь ромба:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200} \cdot \sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6400} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40 \)

Ответ: 40.
В четырёхугольнике \(AEBC\): \(AE \parallel BC\), \(AC \parallel EB\), значит \(AEBC\) — параллелограмм, и \(EB = AC\).

Аналогично: \(AE = AN = BC\), \(FC = CN = AB\).

В треугольнике \(EFN\): \(EF = 2AC\), \(FN = 2AB\), \(EN = 2BC\).

Периметр \(EFN = EF + FN + EN = 2AC + 2AB + 2BC = 2(AB + BC + AC)=\)
\( = 2 \cdot 18 = 36\) см.

Подробный ответ:

Для начала вычислим векторы, которые представляют стороны ромба. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) — это разность координат точки \( B \) и точки \( A \). Координаты точки \( A \) равны \((-3; -4)\), а точки \( B \) — \( (0; 3) \). Чтобы найти \( \overrightarrow{AB} \), вычтем координаты \( A \) из координат \( B \):
\( \overrightarrow{AB} = (0 — (-3); 3 — (-4)) = (3; 7) \). Это означает, что при переходе от точки \( A \) к точке \( B \) мы сдвигаемся вправо на 3 единицы и вверх на 7 единиц.

Аналогично найдём вектор \( \overrightarrow{DC} \). Координаты точки \( D \) равны \( (4; -1) \), а точки \( C \) — \( (7; 6) \). Вычтем координаты \( D \) из координат \( C \):
\( \overrightarrow{DC} = (7 — 4; 6 — (-1)) = (3; 7) \). Получили тот же вектор, что и для \( \overrightarrow{AB} \). Это доказывает, что стороны \( AB \) и \( DC \) параллельны и равны по длине, что характерно для ромба.

Теперь перейдём к диагоналям. Вектор \( \overrightarrow{AC} \) — разность координат точки \( C \) и точки \( A \):
\( \overrightarrow{AC} = (7 — (-3); 6 — (-4)) = (10; 10) \). Это значит, что при переходе от \( A \) к \( C \) мы сдвигаемся вправо на 10 единиц и вверх на 10 единиц.

Вектор \( \overrightarrow{BD} \) — разность координат точки \( D \) и точки \( B \):
\( \overrightarrow{BD} = (4 — 0; -1 — 3) = (4; -4) \). Здесь сдвиг вправо на 4 единицы и вниз на 4 единицы.

Проверим, перпендикулярны ли диагонали, вычислив их скалярное произведение:
\( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 10 \cdot 4 + 10 \cdot (-4) = 40 — 40 = 0 \).

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что диагонали перпендикулярны друг другу — важное свойство ромба.

Далее найдём длины диагоналей. Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) вычисляется по формуле:
\( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10^{2} + 10^{2}} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \).

Для вектора \( \overrightarrow{BD} \) длина равна:
\( |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{4^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \).

Чтобы найти площадь ромба, используем формулу, согласно которой площадь равна половине произведения диагоналей:
\( S = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200} \cdot \sqrt{32} \).

Произведение подкоренных выражений можно записать так:
\( \sqrt{200} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{200 \cdot 32} = \sqrt{6400} \).

Извлечём корень из числа 6400:
\( \sqrt{6400} = 80 \).

Подставим это значение в формулу площади:
\( S = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40 \).

Таким образом, площадь ромба равна 40.

Оцени решение