ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 659 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

В трапеции \(ABCD\) углы при \(C\) и \(D\) равны \(90^\circ\), значит \( \angle A + \angle B = 180^\circ \). Радиус вписанной окружности \(r = OE\). По свойству касательных: \(OE^2 = BE \cdot AE = 4 \cdot 25 = 100\), значит \(r = 10\).

Длины сторон: \(CD = 2r = 20\), \(BC = BF + FC = 4 + 10 = 14\), \(AD = AE + ED = 25 + 10 = 35\).

Площадь трапеции \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot CD = \frac{35 + 14}{2} \cdot 20 = \frac{49}{2} \cdot 20 = 490\).

Ответ: \(490 \text{ см}^2\).

В трапеции \(ABCD\) углы при вершинах \(C\) и \(D\) равны \(90^\circ\), значит \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны основанию \(CD\), а сумма углов при \(A\) и \(B\) равна \(180^\circ\). Это важно для понимания формы трапеции и расположения вписанной окружности.

Пусть радиус вписанной окружности равен \(r\). Точки касания окружности с боковыми сторонами делят их на отрезки: на стороне \(AD\) — \(AE = 25\) и \(ED = r\), на стороне \(BC\) — \(BF = 4\) и \(FC = r\).

По свойству касательных к окружности из одной точки длины касательных равны, поэтому отрезки \(BE\) и \(BF\) равны, и нам дано, что \(BE = 4\).

Используем теорему о касательных: произведение отрезков касательных к окружности из точки равно квадрату радиуса, то есть \(OE^2 = BE \cdot AE\). Подставляем известные значения: \(OE^2 = 4 \times 25 = 100\), значит \(r = OE = 10\).

Теперь можно найти длины сторон трапеции: \(CD = 2r = 20\), \(BC = BF + FC = 4 + 10 = 14\), \(AD = AE + ED = 25 + 10 = 35\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \times CD\). Подставляем значения: \(S_{ABCD} = \frac{35 + 14}{2} \times 20 = \frac{49}{2} \times 20 = 490\).

Ответ: \(490 \text{ см}^2\).