ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 66 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона — 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.
Дано: \( AC = 5 \), \( AB = BC = 20 \), \( AD \) — биссектриса.
\( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{5} = 4 \), значит \( BD = 4 \cdot CD \).
\( BC = BD + CD = 4CD + CD = 5CD = 20 \), откуда \( CD = 4 \), \( BD = 16 \).
По теореме косинусов в \( \triangle ABC \):
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C \),
\( 20^2 = 5^2 + 20^2 — 2 \cdot 5 \cdot 20 \cdot \cos \angle C \),
\( 400 = 25 + 400 — 200 \cos \angle C \),
\( 200 \cos \angle C = 25 \), \( \cos \angle C = \frac{1}{8} \).
В \( \triangle ADC \):
\( AD^2 = AC^2 + CD^2 — 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle C \),
\( AD^2 = 5^2 + 4^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8} \),
\( AD^2 = 25 + 16 — 5 = 36 \),
\( AD = 6 \).
Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \), в котором боковые стороны равны: \( AB = BC = 20 \), а основание \( AC = 5 \). В этом треугольнике проведена биссектриса \( AD \), которая делит угол \( A \) на два равных угла и пересекает сторону \( BC \) в точке \( D \). По свойству биссектрисы известно, что она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть отношение отрезков \( BD \) и \( CD \) равно отношению сторон \( AB \) и \( AC \). Запишем это: \( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \). Подставляя известные значения, получаем \( \frac{BD}{CD} = \frac{20}{5} = 4 \).
Обозначим \( CD = x \). Тогда по пропорции \( BD = 4x \). Поскольку \( BC \) — это сумма отрезков \( BD \) и \( CD \), то \( BC = BD + CD = 4x + x = 5x \). Из условия задачи известно, что \( BC = 20 \), значит \( 5x = 20 \), откуда \( x = 4 \). Таким образом, \( CD = 4 \) и \( BD = 16 \). Теперь у нас есть все стороны треугольника \( ABC \): \( AC = 5 \), \( BC = 20 \), а точка \( D \) делит сторону \( BC \) на отрезки 16 и 4.
Для нахождения длины биссектрисы \( AD \) нам нужно знать угол при вершине \( C \). Для этого применим теорему косинусов в треугольнике \( ABC \), которая связывает стороны и угол между ними: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C \). Подставим известные значения: \( 20^2 = 5^2 + 20^2 — 2 \cdot 5 \cdot 20 \cdot \cos \angle C \). Вычислим: \( 400 = 25 + 400 — 200 \cos \angle C \). Переносим слагаемые и упрощаем: \( 200 \cos \angle C = 25 \), откуда \( \cos \angle C = \frac{25}{200} = \frac{1}{8} \).
Теперь, зная косинус угла \( C \), можно найти длину биссектрисы \( AD \) в треугольнике \( ADC \). Снова применим теорему косинусов: \( AD^2 = AC^2 + CD^2 — 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle C \). Подставим значения: \( AD^2 = 5^2 + 4^2 — 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8} = 25 + 16 — 5 = 36 \). Извлекая квадратный корень, получаем \( AD = \sqrt{36} = 6 \). Таким образом, длина биссектрисы \( AD \) равна 6.
