ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 661 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Начертите треугольник. Постройте треугольник, симметричный ему относительно прямой, содержащей одну из его средних линий.
Дан треугольник \( ABC \) с средней линией \( EF \), где \( E \) и \( F \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \). Прямая \( EF \) параллельна стороне \( AC \).
Построим симметричный треугольник \( A’B’C’ \) относительно прямой \( EF \).
Точка \( B \) лежит на \( EF \), значит \( B’ = B \).
Точки \( A \) и \( C \) отражаем относительно прямой \( EF \), получая \( A’ \) и \( C’ \).
Отрезки \( AM \), \( BN \), \( CK \) перпендикулярны \( EF \) и \( MA’ = AM \), \( NB’ = BN \), \( KC’ = CK \).
Таким образом, \( A’B’C’ \) — треугольник, симметричный \( ABC \) относительно \( EF \).
Дан треугольник \( ABC \). Точки \( E \) и \( F \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \), значит \( E \) и \( F \) делят эти стороны пополам, то есть \( AE = EB \) и \( BF = FC \).
Средняя линия \( EF \) параллельна стороне \( AC \) и равна половине её длины, то есть \( EF \parallel AC \) и \( EF = \frac{1}{2} AC \).
Нужно построить треугольник \( A’B’C’ \), симметричный \( ABC \) относительно прямой \( EF \).
Поскольку \( B \) лежит на средней линии \( EF \), то при отражении относительно \( EF \) точка \( B \) не изменится, то есть \( B’ = B \).
Точки \( A \) и \( C \) отражаем симметрично относительно прямой \( EF \). Для этого опускаем перпендикуляры из \( A \) и \( C \) на \( EF \), обозначим основания перпендикуляров \( M \) и \( K \) соответственно.
Отражение точки относительно прямой сохраняет расстояние до прямой, значит \( AM = MA’ \) и \( CK = KC’ \), где \( A’ \) и \( C’ \) — образы точек \( A \) и \( C \).
Таким образом, точки \( A’ \) и \( C’ \) лежат на прямых, проходящих через \( M \) и \( K \), перпендикулярных \( EF \), но с другой стороны от \( EF \).
Треугольник \( A’B’C’ \) построен так, что он симметричен треугольнику \( ABC \) относительно прямой \( EF \).
Отрезок \( B’B \) равен нулю, так как \( B’ = B \), а отрезки \( AA’ \) и \( CC’ \) равны удвоенным расстояниям от \( A \) и \( C \) до прямой \( EF \).
Таким образом, построение выполнено, и треугольник \( A’B’C’ \) является симметричным треугольнику \( ABC \) относительно средней линии \( EF \).
