ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 67 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Дано: \(AB=16\), \(BC=18\), \(AC=26\), \(BM\) — медиана. Найти \(BM\).

\(AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 26 = 13\).

По теореме косинусов в \(\triangle ABC\):
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\),
\(18^2 = 16^2 + 26^2 — 2 \cdot 16 \cdot 26 \cdot \cos \angle A\),
\(324 = 256 + 676 — 832 \cos \angle A\),
\(832 \cos \angle A = 932 — 324 = 608\),
\(\cos \angle A = \frac{608}{832} = \frac{19}{26}\).

В \(\triangle ABM\) по теореме косинусов:
\(BM^2 = AB^2 + AM^2 — 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \angle A\),
\(BM^2 = 16^2 + 13^2 — 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \frac{19}{26}\),
\(BM^2 = 256 + 169 — 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \frac{19}{26}\),
\(BM^2 = 425 — 304 = 121\),
\(BM = \sqrt{121} = 11\).

Ответ: 11.

В треугольнике \(ABC\) даны длины сторон: \(AB = 16\), \(BC = 18\), \(AC = 26\). Медиана \(BM\) проведена из вершины \(B\) к стороне \(AC\). По определению медианы точка \(M\) — середина отрезка \(AC\), значит \(AM = MC = \frac{1}{2} AC\). Так как \(AC = 26\), то \(AM = 13\). Это важный шаг, потому что теперь мы можем рассматривать треугольник \(ABM\), где известны две стороны: \(AB = 16\) и \(AM = 13\), а также угол между ними, который совпадает с углом \(A\) в треугольнике \(ABC\).

Чтобы найти длину медианы \(BM\), нам нужно знать угол между сторонами \(AB\) и \(AM\) в треугольнике \(ABM\). Этот угол равен углу \(A\) в треугольнике \(ABC\), поэтому сначала найдем \(\cos \angle A\). Для этого используем теорему косинусов в треугольнике \(ABC\):
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\).
Подставим известные значения:
\(18^2 = 16^2 + 26^2 — 2 \cdot 16 \cdot 26 \cdot \cos \angle A\),
что даёт
\(324 = 256 + 676 — 832 \cos \angle A\),
или
\(324 = 932 — 832 \cos \angle A\).
Переносим \(324\) в правую часть и меняем знаки:
\(832 \cos \angle A = 932 — 324 = 608\),
откуда
\(\cos \angle A = \frac{608}{832} = \frac{19}{26}\).

Теперь, зная \(\cos \angle A\), можно применить теорему косинусов к треугольнику \(ABM\), чтобы найти длину медианы \(BM\). В треугольнике \(ABM\) стороны \(AB = 16\), \(AM = 13\) и угол между ними \(\angle A\) с косинусом \(\frac{19}{26}\). По теореме косинусов:
\(BM^2 = AB^2 + AM^2 — 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos \angle A\).
Подставим числа:
\(BM^2 = 16^2 + 13^2 — 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \frac{19}{26}\),
что даёт
\(BM^2 = 256 + 169 — 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \frac{19}{26}\).

Вычислим произведение:
\(2 \cdot 16 \cdot 13 = 416\),
затем
\(416 \cdot \frac{19}{26} = 416 \times \frac{19}{26} = 16 \times 19 = 304\).
Подставим обратно:
\(BM^2 = 256 + 169 — 304 = 425 — 304 = 121\).
Извлекаем квадратный корень:
\(BM = \sqrt{121} = 11\).

Таким образом, длина медианы \(BM\) равна 11.