ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 671 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.
Дано: трапеция \(ABCD\), \(AB = CD\), \(AE = DE\), \(DB = CF\).
Докажем, что \(FE\) — ось симметрии.
Пусть \(M = AB \cap CD\).
В трапеции \(ABCD\): \(AB = CD\), \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle C\), \(\angle MBC = \angle MCB\).
Рассмотрим треугольник \(AMD\): \(\angle A = \angle D\), \(AE = DE\), \(ME\) — высота, \(ME \perp AD\).
Рассмотрим треугольник \(BMC\): \(\angle B = \angle C\), \(BF = CF\), \(MF\) — высота, \(MF \perp BC\).
В трапеции \(ABCD\): \(MF \perp BC\), \(ME \perp AD\), \(AD \parallel BC\), \(F \in ME\), \(FE \perp BC\), \(FE \perp AD\).
Значит, \(FE\) — ось симметрии. Что и требовалось доказать.
Дано, что \(ABCD\) — равнобокая трапеция, то есть \(AB = CD\). Из условия известно, что \(AE = DE\) и \(DB = CF\).
Пусть \(M\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\). Тогда треугольники \(AMD\) и \(BMC\) имеют общие свойства, так как трапеция равнобокая.
В трапеции \(ABCD\) углы при основаниях равны, то есть \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\). Это значит, что треугольники \(AMD\) и \(BMC\) равнобедренные с равными углами при вершинах \(A\) и \(D\), а также \(B\) и \(C\).
В треугольнике \(AMD\) по условию \(AE = DE\), а \(ME\) — высота, следовательно, \(ME \perp AD\). Аналогично в треугольнике \(BMC\), где \(BF = CF\) и \(MF\) — высота, то есть \(MF \perp BC\).
Поскольку \(AD \parallel BC\), а \(ME \perp AD\) и \(MF \perp BC\), то прямые \(ME\) и \(MF\) параллельны и перпендикулярны основаниям трапеции.
Точки \(E\) и \(F\) лежат на отрезках \(AD\) и \(BC\) соответственно, причем \(AE = DE\) и \(BF = CF\), то есть \(E\) и \(F\) — середины этих отрезков.
Прямая \(FE\), проходящая через середины боковых сторон, перпендикулярна основаниям и делит трапецию на две равные части.
Таким образом, прямая \(FE\) является осью симметрии трапеции \(ABCD\). Что и требовалось доказать.
