ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 672 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Дано: \(\triangle ABC\) равнобедренный, \(AB = BC\), \(M\) — середина \(AC\). Нужно доказать, что \(BM\) — ось симметрии.

Рассмотрим \(\triangle ABC\).

Так как \(AB = BC\) и \(M\) — середина \(AC\), то \(AM = MC\).

\(BM\) — медиана, значит \(BM\) перпендикулярна \(AC\) (в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой).

Отражение точки \(A\) относительно \(BM\) даёт точку \(C\), а отражение \(C\) даёт \(A\).

Точка \(B\) лежит на \(BM\), значит она отражается сама в себя.

Значит, \(BM\) — ось симметрии треугольника.

Что и требовалось доказать.

В треугольнике \(ABC\) дано, что он равнобедренный с основанием \(AC\), то есть \(AB = BC\). Точка \(M\) — середина отрезка \(AC\), значит \(AM = MC\).

Медиана \(BM\) проведена к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой, поэтому прямая \(BM\) перпендикулярна \(AC\).

Рассмотрим отражение относительно прямой \(BM\). Поскольку \(M\) — середина \(AC\), отражение точки \(A\) относительно \(BM\) даст точку \(C\), а отражение точки \(C\) даст точку \(A\). Таким образом, точки \(A\) и \(C\) меняются местами при отражении.

Точка \(B\) лежит на прямой \(BM\), следовательно, при отражении относительно \(BM\) она остаётся на месте.

Таким образом, отражение треугольника \(ABC\) относительно прямой \(BM\) переводит треугольник в себя, меняя местами вершины \(A\) и \(C\), а вершину \(B\) оставляя на месте.

Следовательно, прямая \(BM\) является осью симметрии треугольника \(ABC\).

Что и требовалось доказать.