ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 674 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Дано: \(ABCD\) — ромб. Доказать: \(AC\) и \(BD\) — оси симметрии.

Решение: Рассмотрим ромб \(ABCD\). Из свойств ромба: \(AO = CO\), \(BO = DO\), \(AC \perp BD\).

Для диагонали \(AC\): при отражении относительно \(AC\) точки \(A\) и \(C\) переходят сами в себя: \(A \to A\), \(C \to C\), а \(B \to D\), \(D \to B\). Значит \(AC\) — ось симметрии.

Для диагонали \(BD\): при отражении относительно \(BD\) точки \(B\) и \(D\) переходят сами в себя: \(B \to B\), \(D \to D\), а \(A \to C\), \(C \to A\). Значит \(BD\) — ось симметрии.

Что и требовалось доказать.

Дано, что \(ABCD\) — ромб. По определению ромба все его стороны равны, то есть \(AB = BC = CD = DA\). Также известно, что диагонали ромба перпендикулярны, то есть \(AC \perp BD\), и пересекаются в точке \(O\), которая является серединой обеих диагоналей, то есть \(AO = CO\) и \(BO = DO\).

Рассмотрим отражение относительно прямой, содержащей диагональ \(AC\). Поскольку \(A\) и \(C\) лежат на этой прямой, они при отражении переходят сами в себя: \(A \to A\), \(C \to C\). Точки \(B\) и \(D\) симметричны относительно \(AC\), поэтому при отражении \(B \to D\), а \(D \to B\). Так как отражение сохраняет длины и углы, фигура \(ABCD\) переходит сама в себя, следовательно, прямая \(AC\) является осью симметрии ромба.

Аналогично рассмотрим отражение относительно прямой, содержащей диагональ \(BD\). Точки \(B\) и \(D\) лежат на этой прямой и переходят сами в себя: \(B \to B\), \(D \to D\). Точки \(A\) и \(C\) симметричны относительно \(BD\), поэтому при отражении \(A \to C\), а \(C \to A\). Отражение сохраняет фигуру, значит прямая \(BD\) тоже является осью симметрии ромба.

Таким образом, диагонали \(AC\) и \(BD\) являются осями симметрии ромба \(ABCD\). Что и требовалось доказать.