ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 677 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Дано: \(OC\) — биссектриса угла \(\angle AOB\).

Доказать: \(OC\) — ось симметрии.

Решение:
1) Построим точки \(E \in OA\), \(F \in OB\) так, что \(OE = OF\).
2) Рассмотрим треугольник \(EOF\): \(\angle EOH = \angle FOH\), \(OE = OF\).
3) \(OH\) — высота и медиана, значит \(OH \perp EF\), \(EH = FH\).
4) Значит, \(E\) и \(F\) симметричны относительно \(OC\).
Что и требовалось доказать.

Дано, что \(OC\) — биссектриса угла \(\angle AOB\). Значит, она делит угол на две равные части: \(\angle AOC = \angle BOC\).

Выберем на сторонах угла точки \(E\) на луче \(OA\) и \(F\) на луче \(OB\) так, чтобы \(OE = OF\). Это возможно, так как на каждом луче можно отложить одинаковый отрезок от вершины \(O\).

Рассмотрим треугольник \(EOF\). По построению \(OE = OF\). Угол при вершине \(O\) для точек \(E\) и \(F\) равен, так как \(OC\) — биссектриса, то есть \(\angle EOC = \angle FOC\).

Проведём перпендикуляр \(OH\) из точки \(O\) на отрезок \(EF\). Так как \(OE = OF\) и \(OH\) — высота, то \(OH\) одновременно является медианой в треугольнике \(EOF\). Следовательно, \(EH = FH\).

Это означает, что точки \(E\) и \(F\) симметричны относительно прямой \(OC\).

Поскольку для любых точек \(E\) и \(F\) на сторонах угла, удовлетворяющих \(OE = OF\), выполняется симметрия относительно \(OC\), то прямая \(OC\) является осью симметрии угла \(\angle AOB\).

Таким образом, биссектриса угла является его осью симметрии. Что и требовалось доказать.