ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 68 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно \(4\sqrt{2}\) см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Дано: \( AC = 4\sqrt{2} \), \( AM = 5 \), \( AB = BC \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \): \( BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AB \).

По теореме косинусов для \( AC \):

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \)

\( 32 = AB^2 + AB^2 — 2 \cdot AB^2 \cdot \cos \angle B \)

\( 32 = 2 AB^2 (1 — \cos \angle B) \)

\( 16 = AB^2 (1 — \cos \angle B) \)

\( \cos \angle B = 1 — \frac{16}{AB^2} \)

Рассмотрим треугольник \( ABM \):

\( AM^2 = AB^2 + BM^2 — 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos \angle B \)

\( 25 = AB^2 + \left(\frac{1}{2} AB\right)^2 — 2 \cdot AB \cdot \frac{1}{2} AB \cdot \cos \angle B \)

\( 25 = AB^2 + \frac{1}{4} AB^2 — AB^2 \cos \angle B \)

Подставим \( \cos \angle B \):

\( 25 = \frac{5}{4} AB^2 — AB^2 \left(1 — \frac{16}{AB^2}\right) \)

\( 25 = \frac{5}{4} AB^2 — AB^2 + 16 \)

\( 25 = \frac{1}{4} AB^2 + 16 \)

\( 25 — 16 = \frac{1}{4} AB^2 \)

\( 9 = \frac{1}{4} AB^2 \)

\( AB^2 = 36 \)

\( AB = 6 \)

В треугольнике \( ABC \) известно, что он равнобедренный с боковыми сторонами \( AB = BC \). Это значит, что стороны \( AB \) и \( BC \) равны по длине, а сторона \( AC \) является основанием. Дано, что длина основания \( AC = 4\sqrt{2} \) см, а медиана \( AM \), проведённая к основанию \( BC \), равна 5 см. Задача состоит в том, чтобы найти длину боковой стороны \( AB \).

Поскольку треугольник равнобедренный, точка \( M \) — середина основания \( BC \). Это означает, что \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \). Поскольку \( AB = BC \), то \( BM = \frac{1}{2} AB \). Теперь можно рассмотреть треугольник \( ABC \) и применить теорему косинусов, чтобы выразить сторону \( AC \) через \( AB \) и угол \( \angle B \). Теорема косинусов гласит, что квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны \( AC \) это будет:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).

Подставим равенство \( AB = BC \):

\( AC^2 = AB^2 + AB^2 — 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \cos \angle B = 2 AB^2 (1 — \cos \angle B) \).

Подставим числовое значение \( AC = 4\sqrt{2} \):

\( (4\sqrt{2})^2 = 2 AB^2 (1 — \cos \angle B) \).

Вычислим левую часть:

\( 32 = 2 AB^2 (1 — \cos \angle B) \).

Делим обе части на 2:

\( 16 = AB^2 (1 — \cos \angle B) \).

Отсюда выразим косинус угла \( \angle B \):

\( \cos \angle B = 1 — \frac{16}{AB^2} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABM \), где \( M \) — середина основания \( BC \). В этом треугольнике медиана \( AM \) известна и равна 5. Применим теорему косинусов для стороны \( AM \):

\( AM^2 = AB^2 + BM^2 — 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos \angle B \).

Подставим \( BM = \frac{1}{2} AB \) и \( AM = 5 \):

\( 25 = AB^2 + \left(\frac{1}{2} AB\right)^2 — 2 \cdot AB \cdot \frac{1}{2} AB \cdot \cos \angle B \).

Упростим выражение:

\( 25 = AB^2 + \frac{1}{4} AB^2 — AB^2 \cos \angle B \).

Объединим первые два слагаемых:

\( 25 = \frac{5}{4} AB^2 — AB^2 \cos \angle B \).

Подставим выражение для \( \cos \angle B \), полученное ранее:

\( 25 = \frac{5}{4} AB^2 — AB^2 \left(1 — \frac{16}{AB^2}\right) \).

Раскроем скобки:

\( 25 = \frac{5}{4} AB^2 — AB^2 + 16 \).

Упростим выражение:

\( 25 = \frac{1}{4} AB^2 + 16 \).

Вычтем 16 из обеих частей:

\( 25 — 16 = \frac{1}{4} AB^2 \).

Получаем:

\( 9 = \frac{1}{4} AB^2 \).

Умножим обе части на 4:

\( 36 = AB^2 \).

Извлечём корень:

\( AB = 6 \).

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника \( ABC \) равна 6 см.