ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 680 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образом прямой \( a \) при симметрии относительно прямой \( l \) является сама прямая \( a \). Каково взаимное расположение прямых \( a \) и \( l \)?

При осевой симметрии \( a \to a \).

1) Если прямые перпендикулярны: \( X \in a \), \( X \to X_1 \), \( XX_1 \perp l \), \( X_1 \in a \);

2) Если прямые \( a \) и \( l \) совпадают: \( X \in a \), \( X \to X_1 \), \( X_1 = X \), \( X_1 \in a \).

Ответ: \( a \perp l \) или прямые совпадают.

При осевой симметрии относительно прямой \( l \) прямая \( a \) отображается в себя, то есть \( a \to a \).

Рассмотрим точку \( X \), лежащую на прямой \( a \). При отражении относительно \( l \) точка \( X \) переходит в точку \( X_1 \), которая также лежит на прямой \( a \), так как \( a \to a \).

Если прямая \( a \) не совпадает с \( l \), то отрезок \( XX_1 \), соединяющий точку и её образ при отражении, должен быть перпендикулярен \( l \) и пересекать \( l \) в середине этого отрезка.

Это означает, что прямая \( a \) перпендикулярна прямой \( l \), потому что все точки \( X \) на \( a \) и их образы \( X_1 \) также лежат на \( a \), а \( XX_1 \perp l \).

Если же прямая \( a \) совпадает с \( l \), то отражение любой точки \( X \in a \) оставляет её на месте, то есть \( X_1 = X \).

Таким образом, при осевой симметрии, когда \( a \to a \), прямая \( a \) либо совпадает с осью симметрии \( l \), либо перпендикулярна ей.

Ответ: \( a \perp l \) или \( a = l \).