ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 681 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным.

Треугольник имеет ось симметрии, значит количество вершин нечетное: \( B \to B \), \( A \to C \), \( C \to A \), \( AB \to BC \). Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \): из симметрии следует \( AB = BC \), значит \( \triangle ABC \) равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Пусть треугольник \( \triangle ABC \) имеет ось симметрии, которая проходит через вершину \( B \) и точку \( M \) на стороне \( AC \). Это означает, что при отражении относительно этой оси вершина \( B \) переходит сама в себя, то есть \( B \to B \).

Так как ось симметрии отражает фигуру на себя, вершина \( A \) переходит в вершину \( C \), а вершина \( C \) — в вершину \( A \). Аналогично, сторона \( AB \) при отражении переходит в сторону \( BC \), а сторона \( BC \) — в сторону \( AB \).

Отражение сохраняет длины, поэтому длина стороны \( AB \) равна длине стороны \( BC \), то есть \( AB = BC \).

Поскольку две стороны треугольника равны, треугольник \( \triangle ABC \) является равнобедренным.

Таким образом, треугольник с осью симметрии обязательно равнобедренный.