ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 682 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Краткий ответ:

1) Количество вершин нечётное:

При отражении относительно оси \(BM\):
\(B \to B\), \(A \to C\), \(C \to A\), \(AB \to BC\);
При отражении относительно оси \(AE\):
\(A \to A\), \(B \to C\), \(C \to B\), \(AB \to AC\).

2) Рассмотрим \(\triangle ABC\):
Из отражений:
\(AB \to BC\) при оси \(BM\),
\(AB \to AC\) при оси \(AE\);
значит \(AB = BC\) и \(AB = AC\),
следовательно, \(\triangle ABC\) равносторонний.

3) Сделаем построение:
\(CF \perp AB\), \(F \in AB\);
\(CF\) — медиана, значит \(AF = BF\);
При отражении относительно \(CF\):
\(C \to C\), \(A \to B\), \(B \to A\);
значит \(CF\) — ось симметрии.

Ответ: нет.

Подробный ответ:

1) Количество вершин треугольника нечётное, оно равно 3. Пусть у треугольника есть две оси симметрии: ось \(BM\), проходящая через вершину \(B\) и середину стороны \(AC\), и ось \(AE\), проходящая через вершину \(A\) и середину стороны \(BC\).

2) Рассмотрим отражение относительно оси \(BM\). При этом отражении вершина \(B\) остаётся на месте, а вершины \(A\) и \(C\) меняются местами: \(A \leftrightarrow C\). Значит, сторона \(AB\) переходит в сторону \(BC\), то есть \(AB = BC\).

3) Теперь рассмотрим отражение относительно оси \(AE\). При этом отражении вершина \(A\) остаётся на месте, а вершины \(B\) и \(C\) меняются местами: \(B \leftrightarrow C\). Значит, сторона \(AB\) переходит в сторону \(AC\), то есть \(AB = AC\).

4) Из двух равенств \(AB = BC\) и \(AB = AC\) следует, что \(AB = BC = AC\), то есть треугольник равносторонний.

5) Сделаем построение: проведём перпендикуляр \(CF\) к стороне \(AB\), где точка \(F\) лежит на \(AB\). Этот перпендикуляр является медианой, так как в равностороннем треугольнике медианы совпадают с высотами и биссектрисами, значит \(AF = BF\).

6) Рассмотрим отражение относительно оси \(CF\). При этом отражении вершина \(C\) остаётся на месте, а вершины \(A\) и \(B\) меняются местами: \(A \leftrightarrow B\). Значит, ось \(CF\) также является осью симметрии треугольника.

7) Таким образом, у равностороннего треугольника три оси симметрии: \(BM\), \(AE\) и \(CF\).

8) Следовательно, треугольник с двумя осями симметрии равносторонний, но ровно две оси симметрии иметь не может, так как наличие двух осей симметрии автоматически подразумевает наличие третьей.

9) Ответ: нет.

Оцени решение